Dossier CAPES Maths 2019-06 – Modélisation

Enoncé :

Le tableau ci-dessous donne la population de la Syldavie, en milliers d’habitants, tous les dix ans depuis 1950.

Année1950196019701980199020002010
Population50 60052 32554 11555 94457 84659 78461 823

On suppose qu’après 2010, le taux d’évolution de cette population sur chaque décennie est égal au taux d’évolution décennal moyen entre 1950 et 2010.

  1. Calculer les taux d’évolution sur chaque décennie.
  2. Calculer le taux décennal moyen.
  3. Estimer la population en 2030 en expliquant la démarche.

Solutions :

Question 1

On complète le tableau proposé dans l’énoncé en rajoutant une ligne de calcul de taux d’évolution pour chaque décennie. La formule utilisée est la suivante :

\displaystyle t_E = \frac{\text{valeur finale} -\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}.

Pour avoir ce taux en pourcentage, il faudra multiplier par 100.

Année1950196019701980199020002010
Population50 60052 32554 11555 94457 84659 78461 823
Taux ev. (en %)3,41%3,42%3,38%3,40%3,35%3,41%

Question 2

Attention aux pièges. Pour calculer le taux moyen t_M, on ne doit pas faire la moyenne des taux décennales trouvés à la question 1.

Il faut en fait résoudre l’équation suivante :

\displaystyle 50600 \times (1+t_M)^6 = 61823 \quad \quad (E).

Résolution :

(E) \iff (1+t_M)^6 = \frac{61823}{50600} \iff 1+t_M = \left(\frac{61823}{50600}\right)^{1/6}

La fraction \frac{61823}{50600} vaut environ 1,2217 et si on prend la puissance un sixième, on trouve environ 1,033951. Je ferais un arrondi quand on arrivera au résultat final.

\displaystyle (E) \iff t_M = \left(\frac{61823}{50600}\right)^{1/6} - 1 \iff t_M \approx 0,03395.

On peut transforme ce taux moyen en pourcentage :

p_M = 0,03395 \times 100 \approx 3,395%.

Le taux moyen en pourcentage est donc de 3,395%.

Question 3

Pour connaître une estimation de la population en 2030, il faut multiplier 2 termes d’augmentation moyenne à la population en 2010 (il y a deux évolutions successives : de 2010 à 2020 et de 2020 à 2030).

On obtient donc :

\displaystyle 61823 \times \left(1+\frac{3,395}{100}\right)^2 \approx 66092,04.

On arrondit à l’entier près, on obtient une estimation de population en 2030 de 66 093 habitants.

REFERENCES :

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