Enoncé :
La figure ci-contre représente une portion d’un disque de centre A et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l’angle \widehat{BAC} dans l’intervalle ]0,\pi].
Déterminer un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.
Solution :
On fait d’abord une première visualisation sur GeoGebra. Nous allons nous placer dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI}) où I est situé sur le cercle de centre A et de rayon 1 et la droite (AI) perpendiculaire à la droite (AB). Ainsi, l’arc de cercle \overset{\frown}{BC} est une partie du cercle trigonométrique.
La configuration ci-dessous donne approximativement la position du point C sur la partie supérieure du cercle trigonométrique (c’est-à-dire dans l’intervalle ]0,\pi]) telle que l’aire du triangle ABC est égale à l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC. On remarque que la valeur de l’angle est à peu près égal à 1,89 rad ou 108 degrés.
Passons à un raisonnement classique. On pose x = \widehat{BAC}. L’aire du triangle ABC se calcule par la formule suivante (si on considère H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)) :
\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB \times CH}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2}.De plus, l’aire du secteur angulaire entre les points B et C est proportionnelle à l’angle \widehat{BAC}. Ainsi :
\mathcal{\tilde{A}} = \dfrac{x \pi}{2\pi} = \dfrac{x}{2}.
Ainsi si on note \mathcal{A}_2 l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC :
\mathcal{A}_2 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2}.Il faut donc résoudre l’équation d’inconnue x suivante :
\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 \iff \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2} \iff \sin(x) - dfrac{x}{2} =0.On ne peut pas résoudre analytiquement cette équation donc on utilise le “théorème de la bijection”. On pose la fonction f définie sur l’intervalle ]0,\pi] par f(x) = \sin(x) - \frac{x}{2}.
La dérivée se calcule de la manière suivante :
f'(x) = \cos(x) - \dfrac{1}{2}.Elle est strictement positive sur l’intervalle ]0,\frac{\pi}{3}] (donc la fonction f est croissante sur cet intervalle) et strictement négative sur l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] (donc la fonction f est décroissante sur cet intervalle).
On peut exclure l’étude de l’équation sur l’intervalle I_1 = ]0,\frac{\pi}{3}] car f(0) = 0 et 0 n’appartient pas à l’intervalle I_1. Etudions l’équation sur l’intervalle I_2 = [\frac{\pi}{3},\pi].
La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle I_2. On a :
f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0,34 > 0
D’après le théorème de la bijection, il existe un unique nombre \alpha appartenant à l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] qui est solution de l’équation f(\alpha) = 0. On peut donner un encadrement de \alpha grâce à la calculatrice.
Ainsi, d’après la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle x = \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée est
1,985 \le x \le 1,986