Dossier CAPES Maths 2019-19 – Problème conduisant à l’étude de fonctions

Enoncé :

La figure ci-contre représente une portion d’un disque de centre A et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l’angle \widehat{BAC} dans l’intervalle ]0,\pi].

Déterminer un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Solution :

On fait d’abord une première visualisation sur GeoGebra. Nous allons nous placer dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI})I est situé sur le cercle de centre A et de rayon 1 et la droite (AI) perpendiculaire à la droite (AB). Ainsi, l’arc de cercle \overset{\frown}{BC} est une partie du cercle trigonométrique.

La configuration ci-dessous donne approximativement la position du point C sur la partie supérieure du cercle trigonométrique (c’est-à-dire dans l’intervalle ]0,\pi]) telle que l’aire du triangle ABC est égale à l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC. On remarque que la valeur de l’angle est à peu près égal à 1,89 rad ou 108 degrés.

Passons à un raisonnement classique. On pose x = \widehat{BAC}. L’aire du triangle ABC se calcule par la formule suivante (si on considère H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)) :

\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB \times CH}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2}.

De plus, l’aire du secteur angulaire entre les points B et C est proportionnelle à l’angle \widehat{BAC}. Ainsi :

\mathcal{\tilde{A}} = \dfrac{x \pi}{2\pi} = \dfrac{x}{2}.

Ainsi si on note \mathcal{A}_2 l’aire du secteur angulaire entre B et C privé du triangle ABC :

\mathcal{A}_2 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2}.

Il faut donc résoudre l’équation d’inconnue x suivante :

\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 \iff \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(x)}{2} = \dfrac{\sin(x)}{2} \iff \sin(x) - dfrac{x}{2} =0.

On ne peut pas résoudre analytiquement cette équation donc on utilise le “théorème de la bijection”. On pose la fonction f définie sur l’intervalle ]0,\pi] par f(x) = \sin(x) - \frac{x}{2}.

La dérivée se calcule de la manière suivante :

f'(x) = \cos(x) - \dfrac{1}{2}.

Elle est strictement positive sur l’intervalle ]0,\frac{\pi}{3}] (donc la fonction f est croissante sur cet intervalle) et strictement négative sur l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] (donc la fonction f est décroissante sur cet intervalle).

On peut exclure l’étude de l’équation sur l’intervalle I_1 = ]0,\frac{\pi}{3}] car f(0) = 0 et 0 n’appartient pas à l’intervalle I_1. Etudions l’équation sur l’intervalle I_2 = [\frac{\pi}{3},\pi].

La fonction est continue et strictement décroissante sur l’intervalle I_2. On a :

f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \approx 0,34 > 0

f(\pi) = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} = -1,57 < 0.

D’après le théorème de la bijection, il existe un unique nombre \alpha appartenant à l’intervalle [\frac{\pi}{3},\pi] qui est solution de l’équation f(\alpha) = 0. On peut donner un encadrement de \alpha grâce à la calculatrice.

Ainsi, d’après la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10^{-3} d’une mesure de l’angle x = \widehat{BAC} pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée est

1,985 \le x \le 1,986
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