Dossier CAPES Maths 2019-3C02 – Conjecture et démonstration

Enoncé :

Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = u_n + 4n - 6 pour tout entier naturel n.

Conjecturer une expression de u_n en fonction de n et démontrer cette conjecture.

Solution :

Conjecture : Calculons les premiers termes de la suite (u_n) :

u_0 = 5 u_1= u_0 + 4 \times 0 - 6 = 5 - 6 = -1 u_2 = u_1 + 4 \times 1 - 6 = -1 + 4 - 6 = -3 u_3 = u_2 + 4 \times 2 - 6 = -3 + 8 - 6 = -1 u_4 = u_3 + 4 \times 3 - 6 = -1 + 12 - 6 = 5

Traçons la représentation graphique de la suite (u_n) (constituée des points de coordonnées [/katex]lates (n,u_n)[/katex]).

On peut remarquer que le diagramme obtenu est une parabole dont le sommet est située au point de coordonnées (2;-3). Ainsi, si on écrit u_n = f(n), on obtient : f(n) = a(n-2)^2-3. On peut trouver le coefficient a en prenant n=0.

f(0) = 5 \iff a(-2)^2 - 3 = 5 \iff 4a = 8 \iff a = 2.

Ainsi, on peut conjecturer que u_n = 2(n-2)^2 - 3.

Démonstration : pour démontrer cette conjecture, on peut s’inspirer de ce qu’a fait l’élève 2 (voir sujet en références) . On pose la suite (v_n) tel pour tout n entier naturel, on a :

v_n = u_{n+1} - u_n = u_n + 4n - 6 - u_n = 4n-6.

La suite (v_n) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v_0 = u_1 - u_0 = 5 - 6 - 5 = -6.

Or, on remarque que (v_n) est une suite télescopique, c’est-à-dire :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = u_n - u_{n-1} + u_{n+1} - u_{n+2} + ... + u_1 - u_0 = u_n - u_0.

Comme (v_n) est une suite arithmétique, on peut facilement calculer la somme de ses termes :

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = \sum_{k=0}^{n-1} 4k-6 = 4\sum_{k=0}^{n-1} k - 6n

Or la somme des n-1 premiers entiers est donnée par la formule : \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k = \dfrac{n(n-1)}{2}

\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} v_k = u_n - u_0 = 4\frac{n(n-1)}{2} - 6n = 2n^2 - 2n - 6n

u_n - 5 = 2n^2 - 8n \iff u_n = 2n^2 - 8n + 5.

Or, d’après la conjecture : 2(n-2)^2 - 3 = 2(n^2 - 4n + 4) - 3 = 2n^2 - 8n + 8 - 3 = 2n^2 - 8n + 5 = u_n.

Conclusion : l’expression de u_n en fonction de n est donnée par la formule :

u_n = 2n^2 - 8n + 5 = 2(n-2)^2 - 3.

Références :

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