Quelle est la somme du chiffre des dizaines et du chiffre des unités du nombre égal à :

1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 ?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16

Solution :

On calcule :

• 3\times 4 = 12
• 5\times 2 \times 2 = 5\times 4 = 20

Ainsi :

Le chiffre des dizaines de 2880 correspond à 8 et celui des unités à 0. La somme est donc de

Réponse : D

\begin{tikzpicture}
 \draw (0,0) rectangle (12,6);
\draw (0,3) -- (12,3);
\draw (6,0) -- (6,6);
\node at (3,3) [anchor=south] {Intervalles disjoints};
\node at (9,3) [anchor=south] {Intersection 1 point};
\node at (3,0) [anchor=south] {Intervalles extérieurs};
\node at (9,0) [anchor=south] {Intervalles circonscrits};

\draw[->,>=latex] (1,0.8) -- (5,0.8);
\draw[->,>=latex] (1,1.4) -- (5,1.4);
\draw[->,>=latex] (1,2) -- (5,2);
\draw[->,>=latex] (1,2.6) -- (5,2.6);
\node[anchor=east,color=blue] at (1,2.6) {$I$};
\node[anchor=east,scale=0.8,color=black!50!green] at (1,2) {$I\cup J$};
\node[anchor=east,scale=0.8,color=orange] at (1,1.4) {$I \cap J$};
\node[anchor=east,color=red] at (1,0.8) {$J$};
\draw[line width=2bp,color=blue] (2,2.6) -- (3.5,2.6);
\node[color=blue] at (2,2.6) {$[$};
\node[color=blue] at (3.5,2.6) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=black!50!green] (2,2) -- (4.2,2);
\node[color=black!50!green] at (2,2) {$[$};
\node[color=black!50!green] at (4.2,2) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=orange] (3,1.4) -- (3.5,1.4);
\node[color=orange] at (3,1.4) {$[$};
\node[color=orange] at (3.5,1.4) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=red] (3,0.8) -- (4.2,0.8);
\node[color=red] at (3,0.8) {$[$};
\node[color=red] at (4.2,0.8) {$]$};

\draw[->,>=latex] (7,0.8) -- (11,0.8);
\draw[->,>=latex] (7,1.4) -- (11,1.4);
\draw[->,>=latex] (7,2) -- (11,2);
\draw[->,>=latex] (7,2.6) -- (11,2.6);
\node[anchor=west,color=blue] at (11,2.6) {$I$};
\node[anchor=west,scale=0.8,color=black!50!green] at (11,2) {$I\cup J$};
\node[anchor=west,scale=0.8,color=orange] at (11,1.4) {$I \cap J$};
\node[anchor=west,color=red] at (11,0.8) {$J$};
\draw[line width=2bp,color=blue] (8,2.6) -- (10,2.6);
\node[color=blue] at (8,2.6) {$[$};
\node[color=blue] at (10,2.6) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=black!50!green] (8,2) -- (10,2);
\node[color=black!50!green] at (8,2) {$[$};
\node[color=black!50!green] at (10,2) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=orange] (8.4,1.4) -- (9.7,1.4);
\node[color=orange] at (8.4,1.4) {$[$};
\node[color=orange] at (9.7,1.4) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=red] (8.4,0.8) -- (9.7,0.8);
\node[color=red] at (8.4,0.8) {$[$};
\node[color=red] at (9.7,0.8) {$]$};

\draw[->,>=latex] (1,3.8) -- (5,3.8);
\draw[->,>=latex] (1,4.4) -- (5,4.4);
\draw[->,>=latex] (1,5) -- (5,5);
\draw[->,>=latex] (1,5.6) -- (5,5.6);
\node[anchor=east,color=blue] at (1,5.6) {$I$};
\node[anchor=east,scale=0.8,color=black!50!green] at (1,5) {$I\cup J$};
\node[anchor=east,scale=0.8,color=orange] at (1,4.4) {$I \cap J$};
\node[anchor=east,color=red] at (1,3.8) {$J$};
\draw[line width=2bp,color=blue] (1.4,5.6) -- (2.7,5.6);
\node[color=blue] at (1.4,5.6) {$[$};
\node[color=blue] at (2.7,5.6) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=black!50!green] (1.4,5) -- (2.7,5);
\draw[line width=2bp,color=black!50!green] (3.5,5) -- (4.7,5);
\node[color=black!50!green] at (1.4,5) {$[$};
\node[color=black!50!green] at (2.7,5) {$]$};
\node[color=black!50!green] at (3.5,5) {$[$};
\node[color=black!50!green] at (4.7,5) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=red] (3.5,3.8) -- (4.7,3.8);
\node[color=red] at (3.5,3.8) {$[$};
\node[color=red] at (4.7,3.8) {$]$};

\draw[->,>=latex] (7,3.8) -- (11,3.8);
\draw[->,>=latex] (7,4.4) -- (11,4.4);
\draw[->,>=latex] (7,5) -- (11,5);
\draw[->,>=latex] (7,5.6) -- (11,5.6);
\node[anchor=west,color=blue] at (11,5.6) {$I$};
\node[anchor=west,scale=0.8,color=black!50!green] at (11,5) {$I\cup J$};
\node[anchor=west,scale=0.8,color=orange] at (11,4.4) {$I \cap J$};
\node[anchor=west,color=red] at (11,3.8) {$J$};
\draw[line width=2bp,color=blue] (8,5.6) -- (9,5.6);
\node[color=blue] at (8,5.66) {$[$};
\node[color=blue] at (9,5.6) {$]$};
\draw[line width=2bp,color=black!50!green] (8,5) -- (10.4,5);
\node[color=black!50!green] at (8,5) {$[$};
\node[color=black!50!green] at (10.4,5) {$]$};
\draw[fill,color=orange] (9,4.4) circle (2pt);
\draw[line width=2bp,color=red] (9,3.8) -- (10.4,3.8);
\node[color=red] at (9,3.8) {$[$};
\node[color=red] at (10.4,3.8) {$]$};
\end{tikzpicture}

Jacques a obtenu 11 et 16 aux deux premiers contrôles d’arithmétique. Quelle note doit(il avoir au troisième contrôle pour obtenir 15 de moyenne ?

Solution :

On note x_1, x_2, x_3, les notes obtenues par Jacques et \overline{x} la moyenne. On a : \overline{x} = 15 et d’après la formule de la moyenne arithmétique :

Conclusion : Jacques doit obtenir 18/20 pour avoir une moyenne de 15.

1- Course contre la tortue

Scène 1

Bertille parcourt 5 km à une vitesse moyenne de 0,28 m/s. Tout d’abord, on peut convertir 0,28 m/s en km/h. On obtient :

Ainsi, Bertille parcourt les 5 km en 5 \times 1,008 = 5,04 \text{ h} soit 5 h 2 min et 24 sec.

Scène 2

Bertille parcourt les 2,5 km en 2,5 \times 1,008 = 2,52 h donc Achille doit faire 5 km en 2,52 h. Il doit donc marcher à une vitesse moyenne de :

Scène 3

La suite numérique (d_n) qui représente la distance qui sépare Achille à Bertille est définie grâce aux suites (a_n) et (b_n) (respectivement la distance qui sépare Achille de la ligne d’arrivée et la distance qui sépare Bertille de la ligne d’arrivée).

d_n = a_n - b_n = b_n - \dfrac{b_n}{2} = \dfrac{b_n}{2}.

Or (b_n) est une suite géométrique de premier terme b_1 = 5 et de raison q = \frac{1}{2}, d’où : b_n = 5 \times \left(\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}.

Ainsi :

On veut déterminer la limite de la suite (d_n). On peut utiliser une propriété des limites de suites géométriques. Si la raison q est comprise strictement entre 0 et 1 alors la suite (d_n) a pour limite [/katex]0[/katex]. Et c’est le cas car 0 < \frac{1}{2} < 1.

D’où \displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n = 0.

Conclusion : Achille ne rattrapera la tortue qu’à la ligne d’arrivée. C’est donc un match nul !

2 – Nénuphars

SCENE 2

La grenouille saute sur tous les nombres impaires donc tous les nénuphars dont le numéro est de la forme 2k+1 où k est un entier naturel.

Il va donc rester 50 nénuphars à la surface.

SCENE 3

La grenouille saute sur les nénuphars numérotés 2, 8, 14, 20…. Si on fait la différence d’un terme de la suite avec son prédécesseur, on trouve un résultat de 6. On commence par le nombre 2 donc les nombres qui forment la suite peuvent s’écrire 6k + 2 avec k un entier relatif.

Il reste 6 + 7 + 7 + 6 + 7 = 33 nénuphars à la surface.

SCENE 4

On a créé un programme Python qui modélise les sauts de grenouilles.

l_nenuphars = [i for i in range(1,101)];
n_nenuphars = []
nb_nenuphars = len(l_nenuphars)
cpt_max=1;
cpt=1;

while nb_nenuphars!=0:
  for i in range (nb_nenuphars):
    if cpt!=cpt_max:
      n_nenuphars.append(l_nenuphars[i])
      cpt=cpt+1;
    else:
      cpt = 0;
  l_nenuphars=n_nenuphars
  n_nenuphars=[]
  print(l_nenuphars,len(l_nenuphars))
  nb_nenuphars=len(l_nenuphars)
  cpt_max=cpt_max+1;
  cpt=cpt_max;

Rôle des variables :

• l_nenuphars représente la liste des nénuphars encore en surface,
• n_nenuphars est une liste temporaire qui indique les nénuphars en surface lors d’un saut de grenouille,
• nb_nenuphars est le nombre d’éléments de la liste l_nenuphars à un saut donné,
• cpt_max est le pas du saut de grenouille (par exemple, au premier saut, cpt_max vaut 1 (2-1), au second, il vaudra 2 (3-1))
• cpt est le nombre de nénuphars parcouru jusqu’à obtention de cpt_max (si cpt=cpt_max alors cpt devient 0).

Quand on exécute le programme, on obtient alors l’affichage suivant :

[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100] 50
[4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 24, 28, 30, 34, 36, 40, 42, 46, 48, 52, 54, 58, 60, 64, 66, 70, 72, 76, 78,82, 84, 88, 90, 94, 96, 100] 33
[6, 10, 12, 18, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 84, 90, 94, 96] 24
[10, 12, 18, 22, 30, 34, 36, 42, 48, 54, 58, 60, 70, 72, 78, 82, 90, 94, 96] 19
[12, 18, 22, 30, 34, 42, 48, 54, 58, 60, 72, 78, 82, 90, 94] 15
[18, 22, 30, 34, 42, 48, 58, 60, 72, 78, 82, 90] 12
[22, 30, 34, 42, 48, 58, 60, 78, 82, 90] 10
[30, 34, 42, 48, 58, 60, 78, 82] 8
[34, 42, 48, 58, 60, 78, 82] 7
[42, 48, 58, 60, 78, 82] 6
[48, 58, 60, 78, 82] 5
[58, 60, 78, 82] 4
[60, 78, 82] 3
[78, 82] 2
[82] 1
[] 0

Ainsi, il faut 16 sauts de grenouilles pour que tous les nénuphars coulent au fond de la mare.

3 – Course à travers la Grèce

SCENE 1

Nous avons affaire avec un graphe orienté dont les arêtes ont tous un poids positifs. Pour trouver le plus court chemin entre le sommet A et le sommet H, on peut avoir recours à l’algorithme de Dijkstra.

On trace un tableau avec autant de colonne que de sommets.

On commence au sommet A et on marque dans la colonne A, 0. On n’a pas atteint les autres sommets donc on peut marquer \infty.

On prend la valeur la plus petite sur la première ligne. On colore la colonne A qui contient 0 et on regarde les sommets accessibles du sommet A. Il y a le sommet B avec poids 1, le sommet F avec poids 10, le sommet G avec poids 25, le sommet D avec poids 14. Les sommets C, E et H n’ont pas encore été visités donc ils sont marqués \infty. On complète le tableau comme suivant.

Sur la deuxième ligne, la plus petite valeur se trouve à la colonne B. On colorie la colonne et on explore les sommets accessibles du sommet B. Il y a le sommet E de poids 5 et le sommet C de poids 2. Or on a déjà parcouru 1 km donc pour aller du sommet A au sommet E, il faut indiquer la longueur 5 + 2 = 7. On complète le tableau comme suivant (on n’a pas touché aux sommets D, F, G et H).

Sur la troisième ligne, la valeur la plus petite est 3 donc on peut colorier la colonne C. De C, on peut aller en D avec un poids de 10. La longueur des arêtes partant du sommet A allant vers D en passant par C est de 1+2+10 = 12 qui est plus petit que 14 donc on peut mettre à jour la colonne D.

Pour l’étape suivante, on part du sommet E pour arriver vers A. Or, la colonne A est déjà coloriée donc il n’y a pas de mise à jour à faire. On peut continuer l’algorithme ainsi.

On trouve le plus court chemin A \to B \to C \to D \to H qui a pour longueur 53.

4 – Mathémagique

Scène 1

Raisonnons à partir de la fin. On a la choix entre 1, 2 et 3 bâtons donc la somme d’un des trois nombres et son complémentaire dans l’ensemble \{1,2,3\} est égale à 4. Ainsi, quand il reste 4 bâtons, Achille en prend :

• 1 alors le magicien en prend 3
• 2 alors le magicien en prend 2
• 3 alors le magicien en prend 1

et gagne la partie. Il y a 15 bâtons au total donc si on suit la stratégie de prise du complémentaire (abrégé SPC), celui qui gagnera la partie est celui qui laisse le 12ème bâton restant à l’adversaire.

Ainsi si Achille commence et prend 1 bâton, le magicien n’a qu’à prendre 2 bâtons et appliquer la SPC pour gagner la partie. Si Achille prend 2 bâtons, le magicien n’a qu’à prendre 1 bâton et appliquer la SPC pour gagner la partie.

La seule façon pour Achille de gagner à coup sûr la partie, c’est de prendre au premier tour 3 bâtons et appliquer la SPC jusqu’à la fin de la partie. Simple et efficace !

Scène 2

La somme S des chiffres composant l’écriture décimale de tout nombre de la forme 9 \times k avec 0 \le k \le 10 est égale à 9. Ainsi, le nombre d deviné au départ par Achille peut être rapidement su grâce à l’opération F-9 où F = S + d le nombre indiqué par Achille à la fin du tour.

Prenons le cas où d = 11, [/katex]9 \times d = 99[/katex] et ainsi S = 18, d’où [/katex]F = S + d = 29[/katex]. Achille indiquerait donc 29. Pour le magicien, il peut distinguer 3 cas.

• Cas où S = 27, cela voudrait dire que d = 2. Mais, cela est impossible car 9d = 18 et S=2.
• Cas où S = 18, cela voudrait dire que d = 11. Cela reste plausible car 9d = 99 et S = 18.
• Cas où S = 9, cela voudrait dire que d= 20. On aurait alors [/katex]9d = 180[/katex] et S = 9.

Dans le cas où d = 11, on s’heurte à deux cas plausibles donc il n’est pas possible de deviner le nombre de départ d’Achille dans le cas où d = 11.

5 – Cha-π-teau

Scène 1

Le volume d’un cylindre de rayon de base r et de hauteur h est donné par :

soit (avec les valeurs numériques r = 25 m et h = 10 m) :

\mathcal{V}_{\text{cy}} = 25^2 \times 10 \times \pi = 6250\pi \approx 19364 \text{ m}^2.

Le volume d’un cône de rayon de base r et de hauteur h est donné par :

soit (avec les valeurs numériques r = 25 m et h = 15 m) :

Conclusion : le volume du chapiteau est la somme du volume du cylindre de base et du volume du toit en forme de cône :

Scène 2

Le cheval court autour du chapiteau à 1 mètre de distance de la paroi. Ainsi le rayon du cercle décrit par le cheval est de r = 25 + 1 = 26 m.

Le périmètre du cercle est de \mathcal{P} = 2\times 26 \times \pi = 52\pi \approx 163,4 m.

On fait la division euclidienne de 1000 par 163, on trouve un quotient de 6 et un reste de 22.

Ainsi le cheval aura fait 6 tours du chapiteau et au septième tour, il aura fait 22 + 0,4 \times 6 = 22 + 2,4 = 24,4 m.

On fait la division de 24,4 par 163,4, on trouve un résultat approximativement égal à 0,15. De plus, 0 \le 0,15 \le 0,25. Ainsi, à la fin du tour, le cheval (et son cavalier) se trouvent dans le premier quart de cercle colorié sur la figure en vert.

Scène 3

On reprend les données de la figure de la scène 1 représentant le chapiteau. On note Q le point d’intersection avec le cercle de base du cône et la droite parallèle à (OI) passant par H. Le point Q a la même abscisse et la même ordonnée que le point I. On note P le point d’intersection de la droite (SQ) et de la droite (OI).

On veut calculer la longueur SP. On sait que : SH = 15 m, OS = OH + SH = 10 + 15 = 25 m et OI = HQ = 25 m. Ainsi, dans le triangle SHQ rectangle en H, l’angle \widehat{HSQ} se calcule grâce à la trigonométrie.

On se place maintenant dans le triangle SOP rectangle en O. On peut calculer la longueur SP grâce à la trigonométrie (en remarquant que \widehat{HSQ} = \widehat{OSP}).

\cos(\widehat{OHP}) = \dfrac{SO}{SP} \iff \cos(59^\circ) = \dfrac{25}{SP} \iff SP = \dfrac{25}{\cos(59)} = 48,5 m.

On a, de plus :

\tan(\widehat{OHP}) = \dfrac{OP}{SO} \iff \tan(59) = \dfrac{OP}{25} \iff OP = 25 \times \tan(59) \approx 41,6 m.

Ainsi, la corde doit mesurer 48,5 m et doit être à 41,6 - 25 = 16,6 m de la paroi du chapiteau pour que le numéro de voltige ait lieu.

Article pour célébrer le Pi Day (03-14-2020) : calcul de volume de cône et cylindre et longueur de cercle.*

Pour se détendre le samedi, Achille décide d’aller faire un tour au cirque. Ca tombe bien, une tente a été planté pour ce type de spectacle.

SCENE 1

M. Loyal – Venez ! Entrez dans le chapiteau du cirque Zetava. Notre chapiteau est constitué à sa base d’un cylindre dont le cercle de base a pour diamètre 50 m et de hauteur 10 m. Le toit est un cône de même cercle de base que le cylindre et de hauteur 15 m. Pouvez-vous calculer le volume du chapiteau ?

SCENE 2

M. Loyal – Le premier numéro se passe à l’extérieur du chapiteau. C’est un numéro de dressage. Le cheval va tourner tout autour du chapiteau à 1 m de sa paroi. Il va parcourir un kilomètre à vitesse constante et l’acrobate va faire des figures sur la scelle du cheval. Pour se repérer, nous avons mis des couleurs sur le sol. Le cheval et son cavalier partent du point I.

Quelle est la couleur de l’arc de cercle qui représente l’endroit où s’arrête le cheval à la fin de son numéro ?

SCENE 3

Le spectacle de cirque était bien entamé, on arriva presque à la fin.

M. Loyal – Pour le dernier tour, j’aurai besoin de mathématiciens chevronnés. Un voltigeur s’est placé au sommet S du chapiteau et souhaite tendre un filin qui part du point S, suit la pente du toit du chapiteau et qui s’ancre au sol. Pour réaliser ce numéro, il faut que la corde soit bien tendue.

Quelle est la longueur minimale de corde faut-il pour que le voltigeur puisse réaliser ce numéro en toute sécurité ? Et à quelle distance du chapiteau faut-il mettre l’ancrage au sol pour que la corde soit bien tendue ?

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)

Achille se promène dans la rue. Pendant sa balade, il rencontre un magicien expert des mathématiques.

SCENE 1

Magicien – J’ai quelques tours à vous montrer. Pour le premier, j’aurai besoin de la participation d’une personne.

Achille – Je peux être cette personne.

Magicien – Ok, très bien. Venez ! Vous voyez devant vous, j’ai dressé 15 bâtons en bois. A chaque tour, vous pouvez prendre entre 1 et 3 bâtons. Le premier qui prend le dernier bâton de la liste gagne la partie.

Achille – Ok, très bien. J’ai compris les règles.

Magicien – A vous de commencer !

Achille – Je prends 2 bâtons.

Magicien – Ok, j’en prend 1.

Achille – Je prend 3 bâtons.

Magicien – Ok, il reste 9 bâtons. Alors j’en prend 1.

Achille – Je prend 1 bâton.

Magicien – Ok, il reste 7 bâtons. Alors j’en prend 3.

Achille – Je prend finalement 2 bâtons.

Magicien – Et je prend les 2 bâtons restants. J’ai gagné. Merci d’avoir tenté votre chance.

La foule applaudit.

Achille – Hé mais…. c’est pas juste ! Si vous commencez la partie, vous êtes sûr de perdre.

Magicien – Hé bien, moi, je vous affirme que si je commence la partie, il y a une manière sûre de gagner la partie. Je vous laisse chercher laquelle.

SCENE 2

Magicien – Vous voulez rester pour le prochain tour ?

Achille – Avec plaisir.

Magicien – Ok, pour ce tour, je vais deviner votre nombre. Un nombre entre 1 et 10.

Achille – C’est bon, j’ai !

Magicien – Ok ! Multipliez votre nombre initial choisi par 9.

Achille – Ok !

Magicien – Faites la somme des chiffres qui composent le nombre.

Achille – Ok !

Magicien – Ensuite, vous ajoutez à la somme le nombre initial choisi. Vous trouvez combien ?

Achille – 19.

Magicien – Vous avez pensé donc au nombre 10.

Achille – Ah oui, c’est juste !

La foule applaudit.

Magicien – Et maintenant, je vous laisse réfléchir. Comment j’ai pu trouver si facilement le nombre initial ? Peut-on étendre ce tour aux nombres 1 à 100 ?

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)

C’est le jour J ! Après la course perdue du lundi, Achille veut se rattraper et veut participer à une compétition dont il a une chance de la remporter. Alors, il va voir le marchand au forum d’Athènes. Là bas, Achille le rencontre entouré d’une dizaine de participants.

SCÈNE 1

Marchand – Ah ! Je vous trouve nombreux et ça me fait plaisir. Je vous distribue le plan de la course.

On commence de la ville d’Athènes (point A sur le plan) et notre lieu d’arrivée est la ville d’Haniotis (point H sur le plan). Les longueurs des routes traversant chaque ville participant à la course sont notés sur le plan en kilomètres.

Le gagnant de la course sera celui qui rejoint la ville d’Haniotis par la route la plus courte.

SCENE 2

Le marchand attend tous les participants de la course à Haniotis et déclare ceci quand tous les participants ont terminé la course.

Marchand – Bravo à Achille qui a remporté la course. Rejoignez-moi à Athènes dans un mois. Je vous donnerai un nouveau défi.

Un mois s’est écoulé et Achille, non content de sa victoire, décida de relever le défi du marchand.

Marchand (un mois plus tard au forum d’Athènes) – Ah ! Vous revoilà ! Vous êtes prêts à tous relever le prochain défi ? J’espère que vous avez gardé le plan de la course d’il y a un mois. Elle vous servira grandement. Voilà ! J’ai placé des plots rouges à chaque borne kilométrique qui borde les chemins de la course. Le gagnant de ce défi sera celui qui obtiendra le plus de plots rouges et me rejoindra à Haniotis avant la tombée de la nuit.

SCENE 3

Marchand – Bravo encore une fois à Achille qui a accompli le défi.

Tous les participants de la course s’éclipsent. Ne reste plus que Achille et le marchand.

Marchand – Je vois que tu es doué en calcul. Tiens, je veux te donner un dernier défi. Est-ce que tu peux m’indiquer sur la carte, quelle est le chemin qui part d’Athènes et qui aboutit à Haniotis et qui a une longueur de 67 kilomètres ?

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)

Problème inspiré du Sujet Zéro des Correspondances Maths 2018 (12 novembre 2018)

Après sa course ratée avec Bertille la tortue, Achille voulut changer d’air et pris la direction du parc. Il y rencontre à l’entrée, un marchand qui lui proposa un rendez-vous alléchant.

SCENE 1

Marchand, agitant une cloche – Oyez, oyez ! Braves gens ! Je vous propose une course où vous pourrez gagner de l’argent.

Achille – Ah ! Ca tombe bien ! Hier, j’ai perdu une course contre une tortue. Je vais pouvoir me refaire.

Marchand – Très bien ! Rendez-vous demain au forum pour plus de précisions sur cette course.

Achille – Très bien, j’y serai !

SCène 2

Achille entra dans le parc et se dirigea vers une mare. Il s’allongea sur l’herbe bordant la mare et un homme semble s’approcher de lui.

Homme – Belle journée, n’est-ce pas ?

Achille – Oui, il fait bon et ensoleillé, le temps idéal en Grèce.

Homme – Je m’appelle Timon. Tu entends ?

Une grenouille coasse.

Achille – Oh que oui, j’entends ! Il y a des grenouilles.

Timon – Tu vois les nénuphars dans la mare. Les grenouilles aiment sauter de nénuphars et nénuphars. Il y a 100 nénuphars en tout, je les ai numéroté.

Timon – Une première grenouille saute du bord nord ouest et saute sur le nénuphar numéroté 1. Puis elle saute les nénuphars de deux en deux. Ainsi, elle saute sur le nénuphar 3, 5, 7…. Quand la grenouille saute sur un nénuphar, ce dernier coule définitivement au fond de la mare.

Achille – Ok, je vois la situation.

Timon – Est-ce que tu peux me donner une caractéristique des nombres dont les nénuphars restent à la surface ? Combien reste-il de nénuphars à la surface après le passage de la première grenouille ?

SCENE 3

Un coup de vent a rassemblé les nénuphars restants dans la position initiale décrite par l’image ci-dessus.

Timon – Ah tiens, les nénuphars se sont de nouveau rassemblées.

Achille – Il était sympa ce problème avec les grenouilles.

Timon – Mais ce n’est pas terminé ! Regarde ! Une deuxième grenouille saute sur les nénuphars. As-tu vu ?

Achille – Oui ! Cette fois-ci, la grenouille a sauté sur le nénuphar numéroté 2 et saute de trois en trois.

Timon – Est-ce que tu peux me donner une caractéristique des nombres dont les nénuphars restent à la surface ? Combien reste-il de nénuphars à la surface après le passage de la deuxième grenouille ?

SCENE 4

Achille – On peut rester toute la journée à regarder des grenouilles sautées sur des nénuphars.

Timon – Oh que oui ! D’ailleurs, la troisième grenouille va sauter sur les nénuphars 4 par 4 et ainsi de suite. Ce serait de créer un programme en Python qui décrirait à chaque passage de grenouille les numéros des nénuphars restants et leur nombre au total. Comme ça, on pourra voir en combien de passages de grenouilles il ne restera plus un seul nénuphar à la surface.

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)