[SdM2020] 1 – Course contre la tortue

C’est l’histoire d’Achille, un jeune homme d’une vingtaine d’année habitant à Athènes, la cité flamboyante de la Grèce Antique. La scène se passe aux alentours de 450 av. J.-C. Achille est invité à prendre le départ d’une course mémorable. Mémorable pour lui car il ne pourra jamais gagner la course.

SCENE 1

Zénon – Bonjour Achille. Je t’attendais. Prends place sur cette longue piste d’athlétisme qui mesure 10 km de long.

Achille – Qui êtes-vous ? Vous avez l’air d’être une personne haut placée de Grèce.

Zénon – Haut placée, je ne sais pas. Je m’appelle Zénon et je viens de l’Elée. On me surnomme là bas le “Palamède d’Élée”. Prends place sur cette longue piste.

Achille – Que dois-je faire ?

Zénon – Tu vois, à côté de toi, se dresse fièrement une tortue.

Achille – Une tortue ? C’est mon adversaire du jour ?

Zénon – Oui ! Cette course sera mémorable, tu vas voir !

Achille – Comment ça “mémorable” ?

Zénon – Oui, “mémorable” ! En effet, tu cours très vite, n’est-ce pas ?

Achille – Oh que oui ! Je suis un des athlètes le plus en vue de tout Athènes.

Zénon – Hé bien, cesse de t’en vanter car tu te rendras vite compte que ta vanité te jouera des tours. Laisses-moi te présenter Bertille, la tortue la plus rapide de toute la planète.

Achille – Ha, ha ! Rapide certes mais face à un humain, elle ne fera pas le poids.

Zénon – C’est ce qu’on verra ! Places-toi sur la ligne de départ et à mon coup de feu, laisses une avance de 5 km à Bertille. Pendant ce temps-là, est-ce que tu peux me calculer la durée de son premier trajet (de 5 km) sachant que Bertille court à une vitesse de 0,28 m/s ?

SCENE 2

Pendant tout ce temps, Achille était parti en ville faire quelques emplettes au marché et s’est adonné à quelques beuveries bien méritées.

Achille – Ouah, j’ai eu le temps d’aller prendre un verre à la taverne de Mae, j’en aurai des problèmes de mathématiques à résoudre pendant cette semaine. On peut commencer la course maintenant ?

Zénon – Oui, on peut commencer ! Pendant que Bertille parcourra la moitié de la distance qui la sépare de la ligne d’arrivée, tu courras la distance que la tortue a fait précédemment. Tu dois arriver au point kilométrique 5 en même temps qu’elle arrive au point kilométrique 7,5.

Achille – Ah ! Donc pendant qu’elle fait 2,5 km, je dois faire les 5 km qu’elle a fait pendant que j’étais entrain de faire des courses au marché. Ok. Mais à quelle vitesse moyenne je dois marcher cette distance pour parvenir à votre demande ?

SCENE 3

Zénon – C’est la fin de la deuxième itération. Achille, tu es à 2,5 km de Bertille la tortue. Je note la suite numérique (d_n) représentant la distance qui te sépare de Bertille. Ainsi d_1 = 10 - 5 = 5 et d_2 = 5 - 2,5 = 2,5.

Achille – Ah mais je ne pourrais jamais rattraper Bertille si on se plie à vos conditions. A chaque qu’elle va parcourir la moitié de la distance qui lui sépare de la ligne d’arrivée, je vais devoir réaliser la distance qu’elle a parcourue à la précédente itération.

Zénon – C’est exact ! Si on note la suite numérique (a_n) représentant la distance qui te sépare de la ligne d’arrivée et la suite numérique (b_n) représentant la distance qui sépare Bertille de la ligne d’arrivée. On a alors :

\begin{cases}a_1 = 10 \\ a_{n+1} = b_n\end{cases} et \begin{cases}b_1 = 5 \\ b_{n+1} = \frac{b_n}{2}\end{cases} pour tout n \ge 1.

Est-ce que tu peux m’exprimer la suite \mathbf{(d_n)} en fonction de n et est-ce que tu peux me déterminer la limite de la suite \mathbf{(d_n)} ?

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)

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