[SdM2020] 2 – Nénuphars

Problème inspiré du Sujet Zéro des Correspondances Maths 2018 (12 novembre 2018)

Après sa course ratée avec Bertille la tortue, Achille voulut changer d’air et pris la direction du parc. Il y rencontre à l’entrée, un marchand qui lui proposa un rendez-vous alléchant.

SCENE 1

Marchand, agitant une cloche – Oyez, oyez ! Braves gens ! Je vous propose une course où vous pourrez gagner de l’argent.

Achille – Ah ! Ca tombe bien ! Hier, j’ai perdu une course contre une tortue. Je vais pouvoir me refaire.

Marchand – Très bien ! Rendez-vous demain au forum pour plus de précisions sur cette course.

Achille – Très bien, j’y serai !

SCène 2

Achille entra dans le parc et se dirigea vers une mare. Il s’allongea sur l’herbe bordant la mare et un homme semble s’approcher de lui.

Homme – Belle journée, n’est-ce pas ?

Achille – Oui, il fait bon et ensoleillé, le temps idéal en Grèce.

Homme – Je m’appelle Timon. Tu entends ?

Une grenouille coasse.

Achille – Oh que oui, j’entends ! Il y a des grenouilles.

Timon – Tu vois les nénuphars dans la mare. Les grenouilles aiment sauter de nénuphars et nénuphars. Il y a 100 nénuphars en tout, je les ai numéroté.

Timon – Une première grenouille saute du bord nord ouest et saute sur le nénuphar numéroté 1. Puis elle saute les nénuphars de deux en deux. Ainsi, elle saute sur le nénuphar 3, 5, 7…. Quand la grenouille saute sur un nénuphar, ce dernier coule définitivement au fond de la mare.

Achille – Ok, je vois la situation.

Timon – Est-ce que tu peux me donner une caractéristique des nombres dont les nénuphars restent à la surface ? Combien reste-il de nénuphars à la surface après le passage de la première grenouille ?

SCENE 3

Un coup de vent a rassemblé les nénuphars restants dans la position initiale décrite par l’image ci-dessus.

Timon – Ah tiens, les nénuphars se sont de nouveau rassemblées.

Achille – Il était sympa ce problème avec les grenouilles.

Timon – Mais ce n’est pas terminé ! Regarde ! Une deuxième grenouille saute sur les nénuphars. As-tu vu ?

Achille – Oui ! Cette fois-ci, la grenouille a sauté sur le nénuphar numéroté 2 et saute de trois en trois.

Timon – Est-ce que tu peux me donner une caractéristique des nombres dont les nénuphars restent à la surface ? Combien reste-il de nénuphars à la surface après le passage de la deuxième grenouille ?

SCENE 4

Achille – On peut rester toute la journée à regarder des grenouilles sautées sur des nénuphars.

Timon – Oh que oui ! D’ailleurs, la troisième grenouille va sauter sur les nénuphars 4 par 4 et ainsi de suite. Ce serait de créer un programme en Python qui décrirait à chaque passage de grenouille les numéros des nénuphars restants et leur nombre au total. Comme ça, on pourra voir en combien de passages de grenouilles il ne restera plus un seul nénuphar à la surface.

Solutions des problèmes posés dans l’article (disponible à partir du dimanche 15 mars 2020)

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