[SdM2020] 6 – Solutions des problèmes

1- Course contre la tortue

Scène 1

Bertille parcourt 5 km à une vitesse moyenne de 0,28 m/s. Tout d’abord, on peut convertir 0,28 m/s en km/h. On obtient :

\displaystyle \frac{0,28 \text{ m}}{1 \text{ s}} = \frac{0,28 \text{ km}}{1000} \times \frac{3600}{1 \text{ h}} = 0,28 \times 3,6 \text{ km/h} = 1,008 \text{ km/h}

Ainsi, Bertille parcourt les 5 km en 5 \times 1,008 = 5,04 \text{ h} soit 5 h 2 min et 24 sec.

Scène 2

Bertille parcourt les 2,5 km en 2,5 \times 1,008 = 2,52 h donc Achille doit faire 5 km en 2,52 h. Il doit donc marcher à une vitesse moyenne de :

V = \dfrac{5}{2,52} = 1,98 \text{ km/h.}

Scène 3

La suite numérique (d_n) qui représente la distance qui sépare Achille à Bertille est définie grâce aux suites (a_n) et (b_n) (respectivement la distance qui sépare Achille de la ligne d’arrivée et la distance qui sépare Bertille de la ligne d’arrivée).

d_n = a_n - b_n = b_n - \dfrac{b_n}{2} = \dfrac{b_n}{2}.

Or (b_n) est une suite géométrique de premier terme b_1 = 5 et de raison q = \frac{1}{2}, d’où : b_n = 5 \times \left(\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}.

Ainsi :

d_n = 5 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \times \dfrac{1}{2} = 5 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.

On veut déterminer la limite de la suite (d_n). On peut utiliser une propriété des limites de suites géométriques. Si la raison q est comprise strictement entre 0 et 1 alors la suite (d_n) a pour limite [/katex]0[/katex]. Et c’est le cas car 0 < \frac{1}{2} < 1.

D’où \displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n = 0.

Conclusion : Achille ne rattrapera la tortue qu’à la ligne d’arrivée. C’est donc un match nul !

2 – Nénuphars

SCENE 2

La grenouille saute sur tous les nombres impaires donc tous les nénuphars dont le numéro est de la forme 2k+1k est un entier naturel.

Il va donc rester 50 nénuphars à la surface.

SCENE 3

La grenouille saute sur les nénuphars numérotés 2, 8, 14, 20…. Si on fait la différence d’un terme de la suite avec son prédécesseur, on trouve un résultat de 6. On commence par le nombre 2 donc les nombres qui forment la suite peuvent s’écrire 6k + 2 avec k un entier relatif.

Il reste 6 + 7 + 7 + 6 + 7 = 33 nénuphars à la surface.

SCENE 4

On a créé un programme Python qui modélise les sauts de grenouilles.

l_nenuphars = [i for i in range(1,101)];
n_nenuphars = []
nb_nenuphars = len(l_nenuphars)
cpt_max=1;
cpt=1;

while nb_nenuphars!=0:
  for i in range (nb_nenuphars):
    if cpt!=cpt_max:
      n_nenuphars.append(l_nenuphars[i])
      cpt=cpt+1;
    else:
      cpt = 0;
  l_nenuphars=n_nenuphars
  n_nenuphars=[]
  print(l_nenuphars,len(l_nenuphars))
  nb_nenuphars=len(l_nenuphars)
  cpt_max=cpt_max+1;
  cpt=cpt_max;

Rôle des variables :

  • l_nenuphars représente la liste des nénuphars encore en surface,
  • n_nenuphars est une liste temporaire qui indique les nénuphars en surface lors d’un saut de grenouille,
  • nb_nenuphars est le nombre d’éléments de la liste l_nenuphars à un saut donné,
  • cpt_max est le pas du saut de grenouille (par exemple, au premier saut, cpt_max vaut 1 (2-1), au second, il vaudra 2 (3-1))
  • cpt est le nombre de nénuphars parcouru jusqu’à obtention de cpt_max (si cpt=cpt_max alors cpt devient 0).

Quand on exécute le programme, on obtient alors l’affichage suivant :

[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100] 50
[4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 24, 28, 30, 34, 36, 40, 42, 46, 48, 52, 54, 58, 60, 64, 66, 70, 72, 76, 78,82, 84, 88, 90, 94, 96, 100] 33
[6, 10, 12, 18, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 84, 90, 94, 96] 24
[10, 12, 18, 22, 30, 34, 36, 42, 48, 54, 58, 60, 70, 72, 78, 82, 90, 94, 96] 19
[12, 18, 22, 30, 34, 42, 48, 54, 58, 60, 72, 78, 82, 90, 94] 15
[18, 22, 30, 34, 42, 48, 58, 60, 72, 78, 82, 90] 12
[22, 30, 34, 42, 48, 58, 60, 78, 82, 90] 10
[30, 34, 42, 48, 58, 60, 78, 82] 8
[34, 42, 48, 58, 60, 78, 82] 7
[42, 48, 58, 60, 78, 82] 6
[48, 58, 60, 78, 82] 5
[58, 60, 78, 82] 4
[60, 78, 82] 3
[78, 82] 2
[82] 1
[] 0

Ainsi, il faut 16 sauts de grenouilles pour que tous les nénuphars coulent au fond de la mare.

3 – Course à travers la Grèce

SCENE 1

Nous avons affaire avec un graphe orienté dont les arêtes ont tous un poids positifs. Pour trouver le plus court chemin entre le sommet A et le sommet H, on peut avoir recours à l’algorithme de Dijkstra.

On trace un tableau avec autant de colonne que de sommets.

On commence au sommet A et on marque dans la colonne A, 0. On n’a pas atteint les autres sommets donc on peut marquer \infty.

On prend la valeur la plus petite sur la première ligne. On colore la colonne A qui contient 0 et on regarde les sommets accessibles du sommet A. Il y a le sommet B avec poids 1, le sommet F avec poids 10, le sommet G avec poids 25, le sommet D avec poids 14. Les sommets C, E et H n’ont pas encore été visités donc ils sont marqués \infty. On complète le tableau comme suivant.

Sur la deuxième ligne, la plus petite valeur se trouve à la colonne B. On colorie la colonne et on explore les sommets accessibles du sommet B. Il y a le sommet E de poids 5 et le sommet C de poids 2. Or on a déjà parcouru 1 km donc pour aller du sommet A au sommet E, il faut indiquer la longueur 5 + 2 = 7. On complète le tableau comme suivant (on n’a pas touché aux sommets D, F, G et H).

Sur la troisième ligne, la valeur la plus petite est 3 donc on peut colorier la colonne C. De C, on peut aller en D avec un poids de 10. La longueur des arêtes partant du sommet A allant vers D en passant par C est de 1+2+10 = 12 qui est plus petit que 14 donc on peut mettre à jour la colonne D.

Pour l’étape suivante, on part du sommet E pour arriver vers A. Or, la colonne A est déjà coloriée donc il n’y a pas de mise à jour à faire. On peut continuer l’algorithme ainsi.

On trouve le plus court chemin A \to B \to C \to D \to H qui a pour longueur 53.

4 – Mathémagique

Scène 1

Raisonnons à partir de la fin. On a la choix entre 1, 2 et 3 bâtons donc la somme d’un des trois nombres et son complémentaire dans l’ensemble \{1,2,3\} est égale à 4. Ainsi, quand il reste 4 bâtons, Achille en prend :

  • 1 alors le magicien en prend 3
  • 2 alors le magicien en prend 2
  • 3 alors le magicien en prend 1

et gagne la partie. Il y a 15 bâtons au total donc si on suit la stratégie de prise du complémentaire (abrégé SPC), celui qui gagnera la partie est celui qui laisse le 12ème bâton restant à l’adversaire.

Ainsi si Achille commence et prend 1 bâton, le magicien n’a qu’à prendre 2 bâtons et appliquer la SPC pour gagner la partie. Si Achille prend 2 bâtons, le magicien n’a qu’à prendre 1 bâton et appliquer la SPC pour gagner la partie.

La seule façon pour Achille de gagner à coup sûr la partie, c’est de prendre au premier tour 3 bâtons et appliquer la SPC jusqu’à la fin de la partie. Simple et efficace !

Scène 2

La somme S des chiffres composant l’écriture décimale de tout nombre de la forme 9 \times k avec 0 \le k \le 10 est égale à 9. Ainsi, le nombre d deviné au départ par Achille peut être rapidement su grâce à l’opération F-9F = S + d le nombre indiqué par Achille à la fin du tour.

Prenons le cas où d = 11, [/katex]9 \times d = 99[/katex] et ainsi S = 18, d’où [/katex]F = S + d = 29[/katex]. Achille indiquerait donc 29. Pour le magicien, il peut distinguer 3 cas.

  • Cas où S = 27, cela voudrait dire que d = 2. Mais, cela est impossible car 9d = 18 et S=2.
  • Cas où S = 18, cela voudrait dire que d = 11. Cela reste plausible car 9d = 99 et S = 18.
  • Cas où S = 9, cela voudrait dire que d= 20. On aurait alors [/katex]9d = 180[/katex] et S = 9.

Dans le cas où d = 11, on s’heurte à deux cas plausibles donc il n’est pas possible de deviner le nombre de départ d’Achille dans le cas où d = 11.

5 – Cha-π-teau

Scène 1

Le volume d’un cylindre de rayon de base r et de hauteur h est donné par :

\mathcal{V}_{\text{cy}} = \pi \times r^2 \times h

soit (avec les valeurs numériques r = 25 m et h = 10 m) :

\mathcal{V}_{\text{cy}} = 25^2 \times 10 \times \pi = 6250\pi \approx 19364 \text{ m}^2.

Le volume d’un cône de rayon de base r et de hauteur h est donné par :

\mathcal{V}_{\text{co}} = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}

soit (avec les valeurs numériques r = 25 m et h = 15 m) :

\mathcal{V}_{\text{co}} = \dfrac{\pi \times 25^2 \times 15}{3} = \dfrac{9375\pi}{3} = 3125\pi \approx 9817\text{m}^2.

Conclusion : le volume du chapiteau est la somme du volume du cylindre de base et du volume du toit en forme de cône :

\mathcal{V}_{\text{cy}}+\mathcal{V}_{\text{co}} = 6250\pi + 3125\pi = 9375\pi \approx 29452\text{ m}^2.

Scène 2

Le cheval court autour du chapiteau à 1 mètre de distance de la paroi. Ainsi le rayon du cercle décrit par le cheval est de r = 25 + 1 = 26 m.

Le périmètre du cercle est de \mathcal{P} = 2\times 26 \times \pi = 52\pi \approx 163,4 m.

On fait la division euclidienne de 1000 par 163, on trouve un quotient de 6 et un reste de 22.

Ainsi le cheval aura fait 6 tours du chapiteau et au septième tour, il aura fait 22 + 0,4 \times 6 = 22 + 2,4 = 24,4 m.

On fait la division de 24,4 par 163,4, on trouve un résultat approximativement égal à 0,15. De plus, 0 \le 0,15 \le 0,25. Ainsi, à la fin du tour, le cheval (et son cavalier) se trouvent dans le premier quart de cercle colorié sur la figure en vert.

Scène 3

On reprend les données de la figure de la scène 1 représentant le chapiteau. On note Q le point d’intersection avec le cercle de base du cône et la droite parallèle à (OI) passant par H. Le point Q a la même abscisse et la même ordonnée que le point I. On note P le point d’intersection de la droite (SQ) et de la droite (OI).

On veut calculer la longueur SP. On sait que : SH = 15 m, OS = OH + SH = 10 + 15 = 25 m et OI = HQ = 25 m. Ainsi, dans le triangle SHQ rectangle en H, l’angle \widehat{HSQ} se calcule grâce à la trigonométrie.

\tan(\widehat{HSQ}) = \dfrac{SH}{HQ} = \dfrac{25}{15} \iff \widehat{SHQ} = \arctan\left(\dfrac{25}{15}\right) \approx 59^\circ.

On se place maintenant dans le triangle SOP rectangle en O. On peut calculer la longueur SP grâce à la trigonométrie (en remarquant que \widehat{HSQ} = \widehat{OSP}).

\cos(\widehat{OHP}) = \dfrac{SO}{SP} \iff \cos(59^\circ) = \dfrac{25}{SP} \iff SP = \dfrac{25}{\cos(59)} = 48,5 m.

On a, de plus :

\tan(\widehat{OHP}) = \dfrac{OP}{SO} \iff \tan(59) = \dfrac{OP}{25} \iff OP = 25 \times \tan(59) \approx 41,6 m.

Ainsi, la corde doit mesurer 48,5 m et doit être à 41,6 - 25 = 16,6 m de la paroi du chapiteau pour que le numéro de voltige ait lieu.

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