Algorithme pour la mise au dénominateur commun

Dans cet article, je vous propose de découvrir un algorithme qui permet de mettre sous même dénominateurs plusieurs fractions. Cette méthode est utile pour ranger des fractions dans l’ordre croissant ou décroissant ou faire des additions ou soustractions de fractions.

Mise au dénominateur commun

La recherche d’un dénominateur commun minimal revient à la recherche du PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des dénominateurs de chaque fraction qui composent la somme, la différence ou une liste de fracitons à ordonner.

Par exemple :

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}

On recherche le PPCM des nombres 3, 4 et 5.

Algorithme

Soit à calculer :

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}

Pour trouver facilement ce PPCM, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et autant de lignes qu’il y a de dénominateurs différents dans l’opération ou la liste + 1. Ici, on tracera un tableau de 3 colonnes et 4 lignes.

Dans la première colonne, on notera sur la première ligne DC (pour dénominateur commun) et on met sur les lignes suivantes tous les dénominateurs dans l’ordre d’apparition.

Dans la seconde colonne, on met dans un premier temps, la décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici : 3 = 3 \times 1, 4 = 2 \times 2 et 5 = 1 \times 5.

DC

33
42 2
55

On entoure (sur papier, ici ce sera souligné) dans la première ligne, les facteurs premiers du premier dénominateur. Puis, on entoure, dans les lignes suivantes, les facteurs premiers qui ne sont pas déjà entourés dans les lignes précédentes. Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et que dans une décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on peut entourer le troisième facteur de 2.

On note les facteurs entourés dans la première ligne (deuxième colonne) et on note le produit de tous les facteurs dans la troisième colonne.

DC2 2 3 560
33
42 2
55

On complète la troisième colonne par la division du nombre situé première ligne troisième colonne par les dénominateurs. Ici, on est sûr que tous les résultats sont des nombres entiers.

DC2 2 3 560
3320
42 215
5512

On peut donc effectuer l’opération précédente en s’aidant du tableau :

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2 \times 20 - 1 \times 15 + 1 \times 12}{60} = \dfrac{40-15+12}{60} = \dfrac{37}{60}.

Un autre exemple

On souhaite calculer :

\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{21} + \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{7}

On dresse le tableau de l’algorithme (3 colonnes et 5 lignes) :

DC

6

21

12

7

On marque la décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur :

DC

63 2
213 7
123 2 2
77

On entoure (sur papier, ici ce sera souligné) première ligne, 3 et 2. Pour la deuxième ligne, on a déjà entouré un 3 donc on entoure juste le 7. Pour la troisième ligne, on a déjà entouré le 3 et le 2 donc on entoure juste le second 2 de la liste. Pour la quatrième ligne, on a déjà entouré un 7 donc il n’y a rien à entourer. On note finalement tous les facteurs entourés sur la première ligne deuxième colonne.

DC3 2 7 284
63 2
213 7
123 2 2
77

On divise successivement 84 par 6, par 21, par 12 et par 7 pour trouver les facteurs à multiplier au numérateur.

DC3 2 7 284
63 214
213 74
123 2 27
7712

On peut donc effectuer l’opération :

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