Dossier CAPES Maths 2019-04 – Conjecture et démonstration

Enoncé :

On considère les paraboles d’équation y=ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des réels, avec a non nul.

  1. Quel est le lieu des sommets de ces paraboles lorsque b varie dans \mathbb{R}, a et c étant fixés ?
  2. On fixe c=1. Tout point du plan est-il le sommet d’une de ces paraboles ?

Solutions :

Question 1

Pour introduire notre propos, on peut faire, comme l’élève 1, une conjecture sur GeoGebra. Le lieu des sommets des paraboles dont l’équation cartésienne est y = ax^2 + bx + c avec a et c fixés (ici a =1 et c=2) est une parabole.

https://cbmathssolve.files.wordpress.com/2019/09/dcm2019-04-01.png

Le sommet S d’une parabole d’équation y =ax^2 + bx +c a pour coordonnées (-\frac{b}{2a};\frac{-\Delta}{4a})\Delta est le discriminant du polynôme ax^2 + bx + c et qui vaut \Delta = b^2 - 4ac.

On peut alors écrire :

\displaystyle S(-\frac{b}{2a}) = \frac{-b^2 +4ac}{4a}.

Si on note X = -\frac{b}{2a}, on a alors :

\displaystyle X = -\frac{b}{2a} \iff -b = 2aX \iff b =-2aX.

Ainsi,

\displaystyle f(X) = \frac{-(-2aX)^2 + 4ac}{4a} =\frac{-4a^2X^2 + 4ac}{4a}.

On peut simplifier par un facteur de 4a. On obtient alors :

\displaystyle f(X) = -aX^2 + c.

Le lieu des sommets des paraboles d’équation y = ax^2 + bx +c avec a et c fixés est une parabole d’équation y = -ax^2 + c.

Question 2

On considère la famille des paraboles d’équation cartésienne de la forme y=ax^2 + bx + 1. Les coordonnées du sommet d’une de ces paraboles sont de la forme :

\displaystyle S\left(-\frac{b}{2a};\frac{-b^2+4a}{4a}\right).

On peut s’inspirer de ce que l’on a fait dans la question précédente (en fixant comme valeur c=1). On pose X = -\frac{b}{2a}, ce qui est équivalent à écrire b=-2aX et on obtient :

\displaystyle S\left(X;\frac{-(2aX)^2+4a}{4a}\right) ;
\displaystyle S\left(X;\frac{-4a^2X^2+4a}{4a}\right) ;

\displaystyle S\left(X;-aX^2 + 1\right)

On voit que l’ordonnée du sommet est lié à l’abscisse du sommet et la valeur de a. Ainsi, par exemple, si on prend le point (0;3), on voit immédiatement que ce n’est pas de la forme (X;aX^2 + 1) car 3 \neq -a \times 0 + 1 = 1.

Conclusion : tout point du plan ne peut pas être le sommet d’une de ses paraboles.

REFERENCES :

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