Dossiers CAPES Maths 2019-03 – Probabilités

Enoncé :

On dispose de deux pièces A et B.
La probabilité d’obtenir pile avec la pièce A est égale à \dfrac{1}{3} ; avec la pièce B, cette probabilité est \dfrac{1}{2}.
On effectue n lancers de chaque pièce, avec n \ge 4.
A-t-on plus de chances d’obtenir exactement trois fois pile avec la pièce A ou avec la pièce B ?

Solution :

Soit n un entier supérieur ou égal à 4. On note A_n la variable aléatoire qui prend comme valeur le nombre de piles obtenus par la pièce A au bout de n lancers et B_n la variable aléatoire qui prend comme valeur le nombre de piles obtenus par la pièce B au bout de n lancers.

Les deux variables aléatoires A_n et B_n suivent la loi binomiale mais de paramètres différents.

A_n \sim \text{Bin}(n;\frac{1}{3}) ;
B_n \sim \text{Bin}(n;\frac{1}{2}).

La question posée est :

A-t-on plus de chances d’obtenir exactement trois fois pile avec la pièce A ou avec la pièce B ?

On va devoir donc comparer les valeurs P(A_n = 3) et P(B_n = 3). On a :

\displaystyle P(A_n = 3) = \binom{n}{3}\times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^{n-3} ;

\displaystyle P(B_n = 3) = \binom{n}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3}.

On peut simplifier un peu les expressions données en remarquant que a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n}

\displaystyle P(A_n = 3) = \binom{n}{3} \times \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^3}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{n} ;

\displaystyle P(B_n = 3) = \binom{n}{3} \times \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

On a ainsi :

\displaystyle P(A_n = 3) = \binom{n}{3} \times \frac{1}{8} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{n} ;

\displaystyle P(B_n = 3) = \binom{n}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Comme il y a un terme commun \binom{n}{3} dans les deux expressions, on va devoir plutôt comparer \dfrac{1}{8}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n et \left(\dfrac{1}{2}\right)^n.

Pour n=4 :

\displaystyle \frac{1}{8}\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{81} = \frac{32}{1296} ;

\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = \frac{81}{1296}.

On a ainsi : \frac{1}{8}\left(\frac{2}{3}\right)^4 \le \left(\frac{1}{2}\right)^4. Question :

Existe-il une valeur de n à partir de laquelle \frac{1}{8}\times \left(\frac{2}{3}\right)^n \ge \left(\frac{1}{2}\right)^n ?

Cela voudrait dire :

\displaystyle \frac{1}{8}\left(\frac{2}{3}\right)^n \ge \left(\frac{1}{2}\right)^n \iff \frac{\frac{1}{8}\left(\frac{2}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} \ge 1 \iff \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n}\ge 8

\displaystyle \iff \left(\frac{2}{3}\times 2\right)^n \ge 8 \iff \left(\dfrac{4}{3}\right)^n \ge 8. \quad (1).

Nous exposons cette correction face à une classe de terminale donc on peut utiliser la fonction logarithme népérien et ses propriétés (notamment \ln(a^n) = n\ln(a)).

Remarque : Si on se plaçait au niveau première ou début d’année de terminale, on pourrait faire une expérimentation à la calculatrice mais cela resterait à l’état de conjecture.

\displaystyle (1) \iff \ln\left(\left(\frac{4}{3}\right)^n\right) \ge \ln(8) \iff n\ln\left(\frac{4}{3}\right) \ge \ln(8)

\displaystyle \iff n\ge \frac{\ln(8)}{\ln(\frac{4}{3})} \iff n \ge 7,22.

A partir de n=8, la probabilité d’avoir exactement trois fois pile avec la pièce B est supérieure à celle d’avoir trois fois pile avec la pièce A.

REFERENCES :

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