Dossier CAPES Maths 2019-05 – Géométrie dans l’espace

Enoncé :

On considère un tétraèdre régulier ABCD d’arête a. On note I le milieu du segment [AC].

Donner une valeur approchée à 10^{-2} radian près de l’angle \widehat{DBI}.

Solutions :

L’utilisation de la géométrie repérée par l’élève 1 est un peu trop hasardeuse. Le tétraèdre ne forme pas de repère orthonormé évident. On s’inspirera donc de ce qu’à fait l’élève 2.

Les faces du tétraèdre ABCD sont des triangles équilatéraux de côté a et I est le milieu du segment [AC]. On veut calculer la mesure de l’angle \widehat{DBI}, il faut donc considérer le triangle DBI pour pouvoir calculer le cosinus de cet angle (et ainsi trouver sa mesure).

Calculons les trois côtés de ce triangle.

Le segment [BD] se trouve sur le triangle équilatéral ABD donc il a pour longueur a. Pour les segments [BI] et [DI], il faut remarquer que c’est les médiatrices des triangles équilatéraux ACB et ACD. Comme les deux triangles ont même longueur d’arrête, les segments [BI] et [DI] ont même longueur. Calculons par exemple BI grâce au théorème de Pythagore (le triangle ABI est rectangle en I) :

\displaystyle AI^2 + BI^2 = AB^2 \iff BI^2 = AB^2 - AI^2 \iff BI^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2
\displaystyle BI^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}

\displaystyle<br /> BI = \frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a

On a donc : BI = DI = \frac{\sqrt{3}}{2}a.

On va maintenant calculer le cosinus de l’angle widehat{BDI}. Pour cela, on utilise la formule d’Al-Kashi (ou loi des cosinus) appliquée au triangle DBI.

DI^2 = DB^2 + BI^2 - 2 \times BI \times DB \cos(\widehat{DBI})

BI^2 = DB^2 + BI^2 - 2 \times<br /> BI \times DB \cos(\widehat{DBI})

Les mesures des segments [BI] et [DI] étant identiques, les carrés de part et d’autre de la formule peuvent se simplifier.

0 = DB^2 - 2\times BI \times DB \times \cos(\widehat{DBI}) \iff 2\times BI\times DB \times \cos(\widehat{DBI}) = DB^2

\displaystyle \iff \cos(\widehat{DBI}) =<br /> \frac{DB^2}{2\times BI \times DB}

On peut ensuite simplifier une mesure du segment [DB] au numérateur et au dénominateur. On a finalement :

\displaystyle \cos(\widehat{DBI}) = \frac{DB}{2\times<br /> BI}

On remplace maintenant par les valeurs numériques que l’on a trouvé plus en haut.

\displaystyle \cos(\widehat{DBI}) =<br /> \frac{a}{\frac{2\sqrt{3}a}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} =<br /> \frac{\sqrt{3}}{3}.

La calculatrice nous donne \widehat{DBI} = 0,96 radian ou encore \widehat{DBI} = 54,74 degrés. On peut vérifier ce résultat grâce à GeoGebra.

REFERENCES :

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