Dossier CAPES Maths 2019-10 – Conjecture et démonstration

Enoncé :

Pour tout réel p, on considère la fonction f_p définie sur [0;+\infty[ par f_p(x) = x(p-\ln x).

  1. Montrer que f_p possède un maximum sur [0;+\infty[, atteint en une valeur x_p que l’on précisera.
  2. On note S_p le point de la courbe représentative de f_p d’abscisse x_p. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    Affirmation : lorsque p parcourt \mathbb{R}, l’ensemble des points S_p est une demi-droite.

Solution :

Question 1 :

Sur GeoGebra, on peut faire une visualisation des courbes représentatives de la fonction f_p pour quelques valeurs du paramètre p.

D’après ce que l’on voit, les fonctions f_p admettent un maximum sur l’intervalle [0;+\infty[. On démontre cela en calculant la dérivée de la fonction f_p.

Soit p \in \mathbb{R}. On calcule la dérivée de la fonction f_p. On rappelle que la dérivée de la fonction x \mapsto \ln(x) est la fonction x \frac{1}{x}.

f'_p(x) = (p-\ln x) - \frac{x}{x} = p-1-\ln(x).

Pour étudier le sens de variation de la fonction f_p, on étudie le signe de la dérivée :

f'_p(x) = 0 \iff p-1-\ln(x) = 0 \iff p-1 = \ln(x) \iff x = e^{p-1}.

f'_p(x) \ge 0 \iff p-1-\ln(x) \ge 0 \iff p-1 \ge \ln(x) \iff x \le e^{p-1}.

On peut donc déduire le tableau de variations suivant :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & 0 & & x_p = e^{p-1} & & +\infty \\ \hline f'_p(x) & & + & 0 & - & \\ \hline & & & y_p & & \\ f_p & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & & & \\ \hline\end{array}

La fonction f_p atteint donc bien un maximum d’abscisse x_p = e^{p-1}.

Question 2 :

Maintenant que l’on a démontré que les fonctions f_p admettent un maximum d’abscisse x_p = e^{p-1}, on va démontrer que les points S_p forment une demi-droite. Faisons une visualisation sur GeoGebra.

et effectivement, on voit que les points S_p forment une demi-droite d’équation cartésienne y = x sur l’intervalle ]0;+oo[. On le démontre en calculant les coordonnées du point S_p.

S_p est sur la courbe représentative de la fonction f_p et d’abscisse x_p = e^{p-1} donc les coordonnées de S_p sont de la forme (e^{p-1},f_p(e^{p-1})).

Calculons f_p(e^{p-1}).

f_p(e^{p-1}) = e^{p-1}(p-\ln(e^{p-1})) = e^{p-1} (p-(p-1))= e^{p-1}.

Ainsi les coordonnées de S_p sont de la forme (e^{p-1};e^{p-1}). On a donc bien y_p = x_p. Ce qui prouve que les points S_p forment la demi-droite d’équation y =x sur l’intervalle ]0;+\infty[.

On démontre maintenant que tous les points de la demi-droite d’équation y = x sur l’intervalle [0;+\infty[ sont les maxima des courbes représentatives des fonctions f_p.

Soit x_0 \in ]0;+\infty[. On cherche p tel que :

x_0 = x_0(p-\ln(x_0)) \iff 1 = p-\ln(x) \iff p =\ln(x_0)+1

Le point (x_0;x_0) appartient à la courbe représentative \mathcal{C}_{\ln(x_0) +1}. On a, de plus :

p = \ln(x_0) + 1 \iff p - 1 = \ln(x_0) = e^{p-1} = x_0.

C’est donc bien le maximum de la courbe représentative de la fonction f_{\ln(x_0) +1}.

Ainsi, l’ensemble des sommets des courbes \mathcal{C}_p est la demi-droite ouverte d’équation y = x pour tout x > 0.

Références :

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