Dossier CAPES Maths 2019-11 – Géométrie plane

Enoncé :

On considère un trapèze, représenté ci-dessous : ses bases sont de longueurs 7 cm et 17 cm.

On partage ce trapèze en deux trapèzes de même aire en traçant un segment parallèle aux bases. Quelle est la longueur de ce segment ?

Solutions :

On peut faire une première visualisation sur GeoGebra. On trace un trapèze ABCD de petite base 7 cm et de grande base 17 cm (peu importe la hauteur). On place un point E sur le côté [BC] et on trace la parallèle aux bases passant par E. Cette droite intersecte le côté opposé en F. On trace les deux trapèzes ABEF et FECD et on coulisse le point E sur le côté [BC] jusqu’à tant que l’aire des deux trapèzes soit identique.

L’aire du trapèze ABEF est égale à l’aire du trapèze FECD quand EF = 13 cm et ceci quelque soit la hauteur du trapèze.

On va démontrer ceci.

Démonstration :

Pour la démonstration, on va s’inspirer du raisonnement des élèves du groupe 2 (voir sujet sur le site du Jury). On trace les demi-droites [CB) et [DA). Elle s’intersecte en un point G.

On reconnaît une configuration de Thalès car les bases des deux trapèzes sont parallèles et ces deux trapèzes ont une base commune. On pose \ell la longueur du segment [EF] et \mathcal{A} l’aire du triangle GAB.

Comme on est dans une configuration de Thalès, le triangle GCD est un agrandissement du triangle GAB de rapport \frac{17}{7} (donc l’aire du triangle GCD est (\frac{17}{7})^2 plus grande que l’aire du triangle GAB) et le triangle GEF est un agrandissement du triangle GAB de rapport \frac{\ell}{7} (donc l’aire du triangle GEF est (\frac{\ell}{7})^2 plus grande que l’aire du triangle GAB).

L’aire du trapèze FECD est obtenue par la formule :

\displaystyle \mathcal{A}_{FECD} = \left(\frac{17}{7}\right)^2 \mathcal{A} - \left(\frac{\ell}{7}\right)^2\mathcal{A} = \mathcal{A}\left(\frac{17^2 - \ell^2}{7^2}\right).

L’aire du trapèze ABEF est obtenue par la formule :

\displaystyle \mathcal{A}_{ABEF} = \left(\frac{\ell}{7}\right)^2 \mathcal{A} - \mathcal{A} = \mathcal{A}\left(\frac{\ell^2}{7^2} - 1\right).

On veut connaître la valeur de \ell telle qu’on a égalité entre les deux aires, soit :

\displaystyle \mathcal{A} \left(\frac{17^2 - \ell^2}{7^2}\right) = \mathcal{A}\left(\frac{\ell^2}{7^2} - 1\right)\iff \frac{289 - \ell^2}{49} = \frac{\ell^2 - 49}{49}.

On peut diviser par \mathcal{A} dans chaque membre de l’équation car \mathcal{A} > 0. On a ainsi :

\displaystyle \frac{289 - \ell^2}{49} = \frac{\ell^2 - 49}{49} \iff 289 - \ell^2 = \ell^2 - 49

\iff 2\ell^2 = 289 + 49 \iff \ell^2 = \frac{338}{2} \iff \ell^2 = 169.

Comme \ell > 0, il y a donc une solution à l’équation : \ell = \sqrt{169} = 13.

La longueur du segment [EF] doit va valoir 13 cm pour que les deux aires des trapèzes ABEF et FECD soient identiques.

Références :

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