Dossier CAPES Maths 2019-12 – Optimisation

Enoncé :

Une maison doit être raccordée, à partir du point A, à un réseau de gaz situé au point S, à 4 mètres de A horizontalement et à 3 verticalement de B, à l’aide d’une conduite comme indiqué sur la figure ci-contre.

La conduite de gaz est schématisée en rouge.

L’installation de la partie de la conduite située à la surface du sol coûte 300 euros par mètre alors que celle enfouie sous le sol coûte 750 euros par mètre.

Où placer le point M sur le segment [AB] pour rendre le coût de raccordement minimal ?

Solution :

On place le point M sur le segment [AB] tel que AM = x cm et donc, MB = 4-x cm (x appartient à l’intervalle [0;4]).

On calcule la longueur du segment [MS] grâce au théorème de Pythagore (le triangle MBS est rectangle en B).

MS^2 = SB^2 + MB^2 = (4-x)^2 + 3^2 = x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 8x + 25

MS = \sqrt{x^2 - 8x + 25}

Ainsi le coût de pose de la conduite se traduit par la fonction :

C(x) = 300AM + 750MS = 300x + 750\sqrt{x^2 - 8x + 25}.

Pour trouver l’extremum de cette fonction, on résout l’équation C'(x) = 0.

Le calcul de la dérivée se fait de la manière suivante en posant u(x) = x^2 - 8x + 25.

\displaystyle C'(x) = 300 + 750 \frac{u'}{2\sqrt{u}} = 300 + 750 \times \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}.

On peut simplifier par 2 et on met au même dénominateur :

\displaystyle C'(x) = \frac{300\sqrt{x^2 - 8x + 25} +750(x-4)}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

On peut factoriser le numérateur par 75 en remarquant que 300 = 75 \times 4 et 750 = 75 \times 10.

\displaystyle C'(x) = \frac{75[4\sqrt{x^2 - 8x + 25} +10(x-4)]}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}} \displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{4\sqrt{x^2 -8x + 25} + 10(x-4)}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

L’équation C'(x) = 0 est équivalente à \frac{1}{75}C'(x) = 0. On veut se ramener à une équation du second degré à résoudre, pour cela, on peut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur (c’est-à-dire par : 4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4)) :

\displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} + 10(x-4))(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4))}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4))}

On peut vérifier que 4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4) est non nul pour 0 \le x \le 4. La fonction g : x \mapsto 4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4) est décroissante et strictement positive sur l’intervalle [0;4] (le montrer en exercice)

Continuons la résolution de l’équation \frac{1}{75}C'(x) = 0. On utilise ensuite l’identité remarquable (A-B)(A+B) = A^2 - B^2.

\displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{16|x^2 - 8x + 25| -100(x-4)^2}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} -10(x-4))}.

La fonction f(x) = x^2 - 8x + 25 est toujours positive (le discriminant est strictement positif et f(0) = 25). On peut donc se débarrasser des valeurs absolues et développer/réduire l’expression au numérateur.

\displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{16x^2 - 128x + 400 - 100(x^2 - 8x + 16)}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} -10(x-4))} \displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{16x^2 - 128x + 400 - 100x^2 + 800x - 1600)}{\sqrt{x^2 - 8x + 5}(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4))} \displaystyle \frac{1}{75}C'(x) = \frac{-84x^2 + 672x - 1200}{\sqrt{x^2 - 8x + 25}(4\sqrt{x^2 - 8x + 25} - 10(x-4))}.

\frac{1}{75}C'(x) = 0 \iff -84x^2 + 672x - 1200 = 0. On résout donc cette équation :

\Delta = (672)^2 - 4 \times (-84) \times (-1200) = 451584 - 403200 = 48384 > 0

\sqrt{\Delta} =\sqrt{48384} = \sqrt{2304 \times 21} = 48\sqrt{21}.

Le discriminant étant strictement positive, il y a deux solutions à l’équation \frac{1}{75}C'(x) = 0 :

\displaystyle x_1 = \frac{-672 - 48\sqrt{21}}{2 \times -84}= \frac{28+2\sqrt{21}}{7} \approx 5,31 > 4. \displaystyle x_2 = \frac{-672 + 48\sqrt{21}}{2\times -84} = \frac{28-2\sqrt{21}}{7} \approx 2,69 < 4.

La seule solution valable pour notre modélisation est x_2 = 2,69. Il faut donc placer le point M à 2,69 cm du point A pour avoir un coût minimal pour la pose de la conduite. Le coût sera alors de 3262,16€.

Références :

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