Dossier CAPES Maths 2019-13 – Problème avec prise d’initiatives

Enoncé :

Un homme a gardé toutes les bougies de chacun de ses anniversaires depuis son premier anniversaire. Il lui manque cependant les bougies d’une année où il n’a pas pu le fêter.

Chaque année, il met sur le gâteau autant de bougies que son âge. A ce jour, il a conservé en tout 1999 bougies.

A quel âge n’a-t-il pas pu fêter son anniversaire.

Solution :

Le nombre total de bougies conservées après n anniversaires est représenté par la nombre :

\displaystyle S_n = 1 + 2 + \ldots + n = \sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2}.

On cherche donc l’entier naturel n tel que :

\displaystyle S_{n-1} \le 1999 \le S_n \iff \frac{(n-1)n}{2} \le 1999 \le \frac{n(n+1)}{2}.

Pour cela, on peut résoudre l’équation en nombre réel suivante et arrondir la solution positive à l’entier supérieur :

\displaystyle \frac{x(x+1)}{2} = 1999 \iff x^2 + x = 3998 \iff x^2 + x - 3998 = 0.

On trouve alors :

\Delta = 1^2 - 4 \times (-3998) \times 1 = 1 + 15953 = 15954 > 0

\sqrt{\Delta} = \sqrt{15954}.

Le discriminant étant strictement positive, il y a donc deux solutions à l’équation précédente :

\displaystyle x_1 = \frac{-1-\sqrt{15954}}{2} = -63,65 ; \displaystyle x_2 = \frac{-1+\sqrt{15954}}{2} = 62,65.

Ainsi, l’entier recherché est n=63. On a alors :

\displaystyle S_{63} = \frac{63\times 64}{2} = 2016

et 2016 – 1999 = 17. L’homme n’a pas pu fêter son 17ème anniversaire.

Références :

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