Dossier CAPES Maths 2019-18 – Géométrie dans l’espace

Enoncé :

On coupe un cube ABCDEFGH de côté 6 cm selon le plan (BEG). On obtient le tétraèdre BEFG.

Combien mesure la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG ?

Solution :

Géométrie analytique :

On se place dans le repère

(A,\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK}

avec les points I, J et K définis de la manière suivante :

\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} \; ; \; \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD} \; ; \; \overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AE}

On a alors les coordonnées A(0,0,0) ; B(6,0,0) ; C(6,6,0) ; D(0,6,0) ; E(0,0,6) ; F(6,0,6) ; G(6,6,6) ; H(6,6,0).

Deux vecteurs directeurs du plan (BEG) sont

\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} et \overrightarrow{BG} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6\end{pmatrix}

On peut montrer que le vecteur \overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}6 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (BEG). En effet,

\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE} = -6 \times 6 + 0 \times 6 + 6 \times 6 = -36 + 36 = 0

\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{BG} = 6 \times 0 + 6 \times -6 + 6 \times 6 = -36 + 36 = 0

Ainsi, le plan (BEG) a pour équation 6x - 6y + 6z + d = 0 avec d = -36 (en remplaçant les coordonnées du pointB dans l’équation).

La hauteur passant par F dans le tétraèdre BEFG a pour équation paramétriques :

(DF) : \begin{cases} x = 6 + 6t\\ y = -6t \\ z = 6+6t \end{cases}, \; t \in \mathbb{R}.

L’intersection du plan (BEG) et la droite (DF) s’obtient en :

6(6+6t) - 6 \times (-6t) + 6(6+6t) - 36 = 0 \iff 36 + 36t+36t + 36 + 36t - 36 = 0

\iff 36 + 108t = 0 \iff t = -\dfrac{36}{108} = -\dfrac{1}{3}.

Le point M (intersection du plan (BEG) et la droite (DF)) a pour coordonnées (4,2,4).

Ainsi la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG a pour mesure :

\displaystyle FM = \sqrt{(4-6)^2 + (2-0)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.

En bonus, voici une visualisation du cube sur GeoGebra.

Aire et volume :

Le triangle BEG est un triangle équilatéral de côté \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}. Ainsi son aire est donnée par la formule suivante :

\mathcal{A}_{BEG} = \dfrac{6\sqrt{2} \times \frac{6\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}}{2} = 3 \times 6 \times \sqrt{3} = 18\sqrt{3} cm2.

Le volume du tétraèdre BEG est le tiers du volume du cube ABCDEFGH (car le tétraèdre est inscrit dans le cube) ainsi, si on note h la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG :

\dfrac{1}{3} \times h \times 18\sqrt{3} = 36 \iff h = \dfrac{3 \times 36}{18\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.

Références :

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