Dossier CAPES Maths 2019-3C05 – Arithmétique

Enoncé :

On dispose de billets de 5€ et de billets de 20€.

De combien de façons peut-on obtenir la somme de 165€ ?

Solution :

Cela revient à résoudre l’équation diophantienne 5x+20y = 165d’inconnues x et y (entiers naturels).

On peut diviser par 5 chaque membre de l’équation sans changer la nature des solutions (car \mathrm{PGCD}(5,20) = 5 et 165 est un multiple de 5), on obtient alors :

5x+20y = 165 \iff x + 4y = 33.

On donne la solution particulière de x + 4y = 1 :

4 = 3 + 1 \iff 1 = 4 - 3

Ainsi la solution particulière de x + 4y = 1 est le couple (-3;1). On en déduit alors la solution particulière de x + 4y = 33 qui est le couple (-99;33).

Pour déterminer la solution générale de l’équation diophantienne x + 4y = 33, on peut combiner les deux égalités : x+4y = 33 et -99 + 4 \times 33 = 33. On obtient ainsi (en faisant la différence des deux) :

(x+99) + 4(y-33) = 0 \iff (x+99) = - 4(y-33)

Ici -4 divise x+99 donc il existe k entier relatif tel que x+99 = -4k \iff x = -4k-99. Avec un même raisonnement, on peut conclure que y = k + 33.

Mais il faut que les entiers x et y soient positifs, donc il faut ajouter une nouvelle condition :

\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} -4k-99 \ge 0 \\ k+33 \ge 0\end{cases} \iff \begin{cases} -4k \ge 99 \\ k \ge -33\end{cases} \iff \begin{cases} k \le -\dfrac{99}{4} \\ k \ge -33\end{cases}

Ainsi, on trouve un encadrement qui convient pour répondre à la question de l’énoncé :

-33 \le k \le -25

On peut lister ainsi les 9 façons d’obtenir la somme de 165€ avec des billets de 5€ et des billets de 20€.

kxy5x+20y
-33330165
-32291165
-31252165
-30213165
-29174165
-28135165
-2796165
-2657165
-2518165

Références :

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