Enoncé :
Un artisan doit carreler une pièce carrée accueillant en son centre une petite statue dont le socle est carré. Il utilise des carreaux de même dimension que le socle de la statue. Il commence d’abord en entourant celle-ci par une couronne de carreaux et poursuit avec des couronnes de plus en plus grandes comme indiqué sur la figure ci-contre, où le socle de la statue est représenté par le carré noir central.
Il a besoin de 157 couronnes autour du socle de la statue pour paver la salle.
Il dispose en tout de 99 221 carreaux, en a-t-il assez ?
Solutions :
Modélisation : au tout départ, l’artisan pose une couronne de carreaux autour de la statue. Cette couronne forme un carré de 3 x 3 carreaux moins la statue donc il y a en tout 8 carreaux.
Ensuite, pour poser une deuxième couronne, il doit disposer 3 carreaux sur chaque côté du carré et en rajouter 4 sur chaque coin. On a alors un carré de côté 5 carreaux moins 1 pour la statue.
Si on note (u_n) le nombre de carreaux posés pour construire la nième couronne ( n \neq 0), on aura :
u_1 = 8
u_2 = 3 \times 4 + 4 = 12 + 4 = 16 = 4 \times 4
On passe d’un terme au suivant en ajoutant 8. La suite (u_n) est donc arithmétique de raison 8 et de premier terme 8. On peut exprimer u_n en fonction de n.
u_n = 8 + 8(n-1) = 8n + 8 - 8 = 8n.Raisonnement : maintenant que l’on a le nombre de carreaux posés pour construire la nième couronne, on peut calculer le nombre total (S_n) de carreaux posés à l’étape n.
\displaystyle S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k.Or, pour tout n \in \mathbb{N}^*, u_n = 8n donc :
\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n 8k = 8\sum_{k=1}^n ket on peut utiliser la formule de somme des n premiers entiers :
\displaystyle S_n = 8\times \sum_{k=1}^n k = 8 \times \frac{n(n+1)}{2} = 4n(n+1).
On veut savoir maintenant combien de carreaux sont nécessaires pour faire 157 couronnes. Pour cela, on calcule S_{157}.
\displaystyle S_{157} = 8\times \sum_{k=1}^{157} k = 4 \times 157 \times 158 = 99224.Or l’artisan dispose de 99 221 carreaux, il lui manquera donc 3 carreaux pour faire les 157 couronnes.
REFERENCES :
- Source énoncé : PDF du site du jury (page 1)
- Document de G. Julia à propos de ce dossier