Enoncé :
Le tableau ci-dessous donne la population de la Syldavie, en milliers d’habitants, tous les dix ans depuis 1950.
| Année | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 |
| Population | 50 600 | 52 325 | 54 115 | 55 944 | 57 846 | 59 784 | 61 823 |
On suppose qu’après 2010, le taux d’évolution de cette population sur chaque décennie est égal au taux d’évolution décennal moyen entre 1950 et 2010.
- Calculer les taux d’évolution sur chaque décennie.
- Calculer le taux décennal moyen.
- Estimer la population en 2030 en expliquant la démarche.
Solutions :
Question 1
On complète le tableau proposé dans l’énoncé en rajoutant une ligne de calcul de taux d’évolution pour chaque décennie. La formule utilisée est la suivante :
\displaystyle t_E = \frac{\text{valeur finale} -\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}.Pour avoir ce taux en pourcentage, il faudra multiplier par 100.
| Année | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 |
| Population | 50 600 | 52 325 | 54 115 | 55 944 | 57 846 | 59 784 | 61 823 |
| Taux ev. (en %) | 3,41% | 3,42% | 3,38% | 3,40% | 3,35% | 3,41% |
Question 2
Attention aux pièges. Pour calculer le taux moyen t_M, on ne doit pas faire la moyenne des taux décennales trouvés à la question 1.
Il faut en fait résoudre l’équation suivante :
\displaystyle 50600 \times (1+t_M)^6 = 61823 \quad \quad (E).Résolution :
(E) \iff (1+t_M)^6 = \frac{61823}{50600} \iff 1+t_M = \left(\frac{61823}{50600}\right)^{1/6}La fraction \frac{61823}{50600} vaut environ 1,2217 et si on prend la puissance un sixième, on trouve environ 1,033951. Je ferais un arrondi quand on arrivera au résultat final.
\displaystyle (E) \iff t_M = \left(\frac{61823}{50600}\right)^{1/6} - 1 \iff t_M \approx 0,03395.On peut transforme ce taux moyen en pourcentage :
p_M = 0,03395 \times 100 \approx 3,395%.Le taux moyen en pourcentage est donc de 3,395%.
Question 3
Pour connaître une estimation de la population en 2030, il faut multiplier 2 termes d’augmentation moyenne à la population en 2010 (il y a deux évolutions successives : de 2010 à 2020 et de 2020 à 2030).
On obtient donc :
\displaystyle 61823 \times \left(1+\frac{3,395}{100}\right)^2 \approx 66092,04.On arrondit à l’entier près, on obtient une estimation de population en 2030 de 66 093 habitants.