Enoncé :
On définit la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} par u_0 = 3 et pour tout entier naturel n,
u_{n+1} = u_n^2 - u_n.
Etudier le sens de variation de cette suite.
Solutions :
Visualisation et conjecture
On peut donner la représentation graphique de cette suite sur GeoGebra. On trace la droite d’équation y = x et la courbe représentative de la fonction f : x \mapsto x^2 - x. Si u_0 = 3, on obtient cette représentation graphique :
D’après la représentation graphique, la suite (u_n) semble croissante.
Démonstrations :
L’exercice se situe au niveau Terminale scientifique donc on peut utiliser les raisonnements par récurrence. Soit n un entier naturel. On va démontrer deux propriétés par récurrence :
(P_n) : " u_n \ge 3 "
Démonstration de la propriété (P_n) :
Initialisation : pour n=0, on a :
u_0 = 3 \ge 3.
La propriété (P_0) est donc vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier n\ge 0, la propriété (P_n) est vraie c’est-à-dire u_n \ge 3. Démontrons que la propriété (P_{n+1}) est vraie :
u_{n+1} = u_n^2 - u_nSi u_n \ge 3 alors u_n^2 \ge 9 donc
u_{n+1} \ge 9 - 3 \ge 6 \ge 3.
La propriété (P_{n+1}) est donc vraie.
Conclusion : la propriété (P_n) est initiée pour n=0 et elle est héréditaire pour un rang n \ge 0 donc, d’après le principe de récurrence, la propriété (P_n) est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, c’est-à-dire : u_n \ge 3, pour tout n \in \mathbb{N}.
Démonstration de la propriété (Q_n) :
Initialisation : pour n=0, on a :
u_1 - u_0 = 6 - 3 = 3 \ge 0.
La propriété (Q_0) est donc vraie.
Hérédité: Supposons que pour un entier n\ge 0, la propriété (Q_n) est vraie c’est-à-dire u_{n+1} - u_n \ge 0. Démontrons que la propriété (Q_{n+1}) est vraie :
u_{n+2} - u_{n+1} = u_{n+1}^2 - u_{n+1} - u_{n+1}= u_{n+1}(u_{n+1} - 2).Or on peut utiliser la propriété (P_{n+1}), u_{n+1} \ge 3. Ainsi :
u_{n+2} - u_{n+1} = u_{n+1}(u_{n+1}-2) \ge 3 \times (3-2)\ge 3 \ge 0.La propriété (Q_{n+1}) est vérifiée.
Conclusion : la propriété (Q_n) est initiée pour n=0 et elle est héréditaire pour un rang n \ge 0 donc, d’après le principe de récurrence, la propriété (Q_n) est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, c’est-à-dire : u_{n+1}-u_n \ge 0, pour tout n \in \mathbb{N}.
On a donc démontré que la suite (u_n) est croissante.
REFERENCES :
- Document du jury CAPES (page 8)
- Document de G. Julia