Enoncé :
Dans un repère, on a représenté graphiquement la fonction f : x \mapsto x^2 + 1 et le point A(4;0).
Existe-il des tangentes à la courbe passant par le point A ?
Solution :
Soit x_0 \in \mathbb{R}. La tangente à f au point d’abscisse x_0 que l’on notera (T_{x_0}) est donnée par :
(T_{x_0}) : y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)avec f'(x_0) = 2x_0 et f(x_0) = x_0^2 + 1. On a donc :
y = 2x_0(x-x_0) + x_0^2 + 1 \iff y = 2x_0x - 2x_0^2 + x_0^2 + 1 \iff y = 2x_0x-x_0^2 + 1.
On cherche à savoir s’il existe des tangentes à la courbe passant par le point A(4;0), donc s’il existe un x_0 tel que A \in (T_{x_0}), ou encore si l’équation 4 \times 2 x_0 - x_0^2 + 1 = 0 a une solution dans \mathbb{R}.
Calculons le discriminant du trinôme du second degré : -x_0^2 + 8x_0 + 1.
\Delta = 8^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 64 + 4 = 68 \ge 0.
Il existe donc x_0 \in \mathbb{R} tel que A \in (T_{x_0}).
x_{0,1} = \dfrac{-8-2\sqrt{17}}{-2} = 4 + \sqrt{17}x_{0,2} = \dfrac{-8+2\sqrt{17}}{-2} = 4-\sqrt{17}.