Enoncé :
On empile des cubes selon le modèle ci-contre :
- Combien de cubes sont utilisés si on construit ainsi dix étages ?
- Combien d’étages peut-on construire au maximum avec 2019 cubes, et combien restera-t-il de cubes ?
Solution :
On peut d’abord modéliser l’empilement des cubes. Soit (u_n) le nombre de cubes qu’il nous faut pour construire le n-ième étage de la tour (pour n \in \mathbb{N}^*.
On commence avec un cube de base pour le premier étage puis on a besoin à chaque fois d’ajouter 4 cubes par rapport au précédent étage pour obtenir un étage supplémentaire.
On a donc :
\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 4\end{cases}.
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison 4 et premier terme u_1 = 1. On peut donc exprimer cette suite sous forme explicite :
u_n = 1 + 4(n-1) = 1 + 4n - 4 = 4n - 3.
Question 1 :
On peut donc facilement calculer le nombre total de cubes pour construire 10 étages de la tour :
\displaystyle \sum_{k=1}^{10} u_k = \sum_{k=1}^{10} 4k-3 = 4 \sum_{k=1}^{10} k - 3 \times 10 \quad = \dfrac{4 \times 10 \times 11}{2} - 30 = 2 \times 110 - 30 = 220 - 30 = 190Il faut donc 190 cubes pour construire 10 étages de la tour.
Question 2 :
On peut faire une rapide conjecture grâce à la calculatrice :
Ici, la suite (v_n) représente le nombre total de cubes pour construire n étages de la tour (n \in \mathbb{N}^*) et elle s’obtient comme précédemment :
\displaystyle v_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{n} 4k-3 = 4 \sum_{k=1}^{n} k - 3 \times n = frac{4n(n+1)}{2} - 3n = 2n(n+1) - 3n.On obtient ainsi qu’il faut une tour de 32 étages et qu’il nous restera 3 cubes.
Démontrons ce résultat par un calcul. On reprend l’expression de la suite (v_n).
v_n = 2n(n+1) - 3n = 2n^2 + 2n - 3n = 2n^2 - n.On veut savoir le plus grand entier naturel n tel que v_n \le 2019. On résout ainsi :
2n^2 - n = 2019 \iff 2n^2 - n - 2019 = 0.
On calcule le discriminant : \Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-2019) = 16153 > 0. Il y a donc deux solutions à l’équation précédente dont une est positive et convient pour répondre à notre questionnement :
n_1 = \dfrac{1+\sqrt{16153}}{4} \approx 32,03.
Ainsi, l’entier qui convient est 32 (arrondi à l’entier inférieur). On peut donc construire une tour de 32 étages avec 2019 cubes et il nous restera :
2019 - (2 \times 32^2 - 32) = 2019 - 2016 = 3cubes.
Références :
- Enoncé donné par le jury du CAPES Maths (page 17)
- Document de G. Julia