Enoncé :
On coupe un cube ABCDEFGH de côté 6 cm selon le plan (BEG). On obtient le tétraèdre BEFG.
Combien mesure la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG ?
Solution :
Géométrie analytique :
On se place dans le repère
(A,\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK}avec les points I, J et K définis de la manière suivante :
\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB} \; ; \; \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD} \; ; \; \overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AE}On a alors les coordonnées A(0,0,0) ; B(6,0,0) ; C(6,6,0) ; D(0,6,0) ; E(0,0,6) ; F(6,0,6) ; G(6,6,6) ; H(6,6,0).
Deux vecteurs directeurs du plan (BEG) sont
\overrightarrow{BE} \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} et \overrightarrow{BG} \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6\end{pmatrix}
On peut montrer que le vecteur \overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}6 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (BEG). En effet,
\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE} = -6 \times 6 + 0 \times 6 + 6 \times 6 = -36 + 36 = 0
Ainsi, le plan (BEG) a pour équation 6x - 6y + 6z + d = 0 avec d = -36 (en remplaçant les coordonnées du pointB dans l’équation).
La hauteur passant par F dans le tétraèdre BEFG a pour équation paramétriques :
(DF) : \begin{cases} x = 6 + 6t\\ y = -6t \\ z = 6+6t \end{cases}, \; t \in \mathbb{R}.
L’intersection du plan (BEG) et la droite (DF) s’obtient en :
6(6+6t) - 6 \times (-6t) + 6(6+6t) - 36 = 0 \iff 36 + 36t+36t + 36 + 36t - 36 = 0\iff 36 + 108t = 0 \iff t = -\dfrac{36}{108} = -\dfrac{1}{3}.
Le point M (intersection du plan (BEG) et la droite (DF)) a pour coordonnées (4,2,4).
Ainsi la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG a pour mesure :
\displaystyle FM = \sqrt{(4-6)^2 + (2-0)^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
En bonus, voici une visualisation du cube sur GeoGebra.
Aire et volume :
Le triangle BEG est un triangle équilatéral de côté \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}. Ainsi son aire est donnée par la formule suivante :
\mathcal{A}_{BEG} = \dfrac{6\sqrt{2} \times \frac{6\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}}{2} = 3 \times 6 \times \sqrt{3} = 18\sqrt{3} cm2.
Le volume du tétraèdre BEG est le tiers du volume du cube ABCDEFGH (car le tétraèdre est inscrit dans le cube) ainsi, si on note h la hauteur du tétraèdre BEFG relative à la base BEG :
\dfrac{1}{3} \times h \times 18\sqrt{3} = 36 \iff h = \dfrac{3 \times 36}{18\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.
Références :
- Enoncé donné par le jury du CAPES Maths (page 18)
- Document de G. Julia