Enoncé :
A Florence au début du XVIIe siècle, un jeu consistait à jeter trois dés et à miser sur le résultat de la somme des trois dés. Durant sa jeunesse Cosme II de Médicis, grand-duc de Toscane, a observé de nombreuses parties : il a remarqué qu’il était préférable de miser sur le nombre 10.
Un de ses fidèles disciples lui affirma : “Maître excusez-moi de vous contredire mais le 9 apparaît plus souvent que la 10”. Lequel des deux a raison ?
Solution :
La somme des faces obtenues après un lancer de deux dés peut être modélisée par un tableau à double entrée :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
On voit qu’on peut obtenir une somme de 2, 1 fois ; de 3, 2 fois ; de 4, 3 fois…
On peut faire la somme des trois dés en faisant la somme de deux dés puis la somme du dernier. Ainsi on peut utiliser le tableau précédent pour modéliser la somme des faces obtenues après un lancer de trois dés. La modélisation se fait dans le tableau suivant (en colonne, on a mis entre parenthèses le nombre de possibilités d’obtenir la somme de faces sur deux dés :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 2 (1) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 (2) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 (3) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 (4) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 (5) | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 7 (6) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 8 (5) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 9 (4) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 10 (3) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 11 (2) | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 12 (1) | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Pour calculer la probabilité d’obtenir 9 en faisant la somme des trois dés, on regarde où est-ce qu’il apparait dans le tableau et on additionne le nombre de possibilités qui se trouve en première colonne puis on fait additionne le tout et on divise par le nombre de possibilités totales, c’est-à-dire 6^3 = 216.
P(9) = \dfrac{5+6+5+4+3+2}{6^3} = \dfrac{25}{216}.On fait la même chose pour la probabilité d’obtenir 10 en faisant la somme des trois dés.
P(10) = \dfrac{4+5+6+5+4+3}{6^3} = \dfrac{27}{216}.Conclusion : Cosme II de Médicis avait raison : le 10 apparaît plus souvent que le 9.
Références :
- Sujet du jury du CAPES (page 1)
- Document de G. Julia