Enoncé :
ABCDEF est un hexagone régulier d’aire 230 cm2. Les points G, H, I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], …, et [FA]. Déterminer l’aire du polygone GHIJKL.
Solution :
Le polygone GHIJKL est un hexagone. Montrons qu’il est régulier comme ABCDEF.
ABCDEF est un hexagone régulier donc AB = BC = CD = DE = EF = FA et \widehat{FAB} = \widehat{ABC} = \widehat{BCD} = ... = 120^\circ. De plus, G, H, I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], …, et [FA] donc AG = GB = BH = ... = LA. Ainsi, les triangles LAG, GBH, HCI, …, KFL sont semblables donc LG = GH = ... = FL.
Conclusion : GHIJKL est un hexagone régulier et il a le même centre que l’hexagone régulier ABCDEF (que l’on notera O) car les droites (GJ), (HK) et (IL) sont des axes de symétries de l’hexagone régulier ABCDEF. Ainsi, GHIJKL est une réduction de ABCDEF.
Faisons une figure sur GeoGebra.
On veut calculer le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL. Pour cela, on considère le triangle OGB. C’est un triangle rectangle en G car (GJ) est un axe de symétrie de l’hexagone ABCDEFG (en particulier (GJ) est la médiatrice du segment [AB]. Ainsi, pour calculer le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL, on peut calculer le rapport \dfrac{OG}{OB} en utilisant notamment la trigonométrie (triangle rectangle).
\dfrac{OG}{OB} = \cos(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.Ainsi le coefficient de réduction pour passer de l’hexagone ABCDEF à l’hexagone GHIJKL est k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Maintenant, on sait l’aire de l’hexagone ABCDEF et on veut calculer l’aire de l’hexagone GHIJKL. On utilise la propriété suivante : une réduction de rapport k multiplie les aires d’un coefficient égal à k^2. Ainsi :
\mathcal{A}_{GHIJKL} = \mathcal{A}_{ABCDEF} \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 230 \times \dfrac{3}{4} = 172,5 cm2.
Conclusion : l’aire de l’hexagone GHIJKL est de 172,5 cm2.
Références :
- Sujet du jury du CAPES Maths (page 3)
- Document de G. Julia