Dossiers CAPES Maths 2019-02 – Arithmétique

Enoncé :

Soit n un entier naturel.
Démontrer que, dans l’écriture en base dix, les entiers n et n^5 ont le même chiffre des unités.

Solution :

Le chiffre des unités d’un entier n est le reste de la division euclidienne de l’entier n par 10. Si on utilise l’outil des congruences (on le peut car nous exposons la solution devant une classe de Terminale S Spécialité Maths), on peut ainsi dire que “le chiffre des unités d’un entier n est c” si et seulement si :

\begin{cases} n \equiv c [10] \\ 0 \le c \le 9\end{cases}

On peut donc résoudre le problème avec divers raisonnements :

Raisonnement par disjonction des cas

On peut dresser un tableau lisant tous les cas possibles. Première colonne, le chiffre d’unités de l’entier n, deuxième colonne la valeur du chiffre des unités de l’entier n puissance 5, troisième colonne, son reste dans la division euclidienne par 10.

nn⁵reste div 10
000
111
2322
32433
410244
532155
677766
7168077
8327688
9590499

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

On peut utiliser la remarque de l’élève 3 : “les entiers n et n^5 ont le même chiffre des unités si et seulement si l’entier n^5 - n est divisible par 10″.

Soit n un entier naturel. Notons la propriété (P_n) : “l’entier n^5 - n est divisible par 10″ et démontrons cette propriété par récurrence.

Initialisation : Soit n=0. L’entier 0^5 - 0 = 0 - 0 = 0 est bien divisible par 10.

Remarque : l’entier 0 est divisible par tout nombre entier non nul car pour tout a \neq 0, \dfrac{0}{a} = 0.

Donc la propriété (P_0) est vraie.

Hérédité : Soit n un entier naturel. On suppose que la propriété (P_n) est vraie, c’est-à-dire l’entier n^5 - n est divisible par 10. On démontre que la propriété (P_{n+1}) est vraie.

(n+1)^5 - (n+1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1

= (n^5 - n) + 10(n^3 + n^2) + 5(n^4 +<br /> n)

Les entiers n^5 - n et 10(n^3 + n^2) sont divisibles par 10 (le premier par hypothèse de récurrence et le second car il y a un facteur de 10). Si on prend modulo 10, on obtient alors :

(n+1)^5 - (n+1) \equiv 5(n^4+n) [10]

Pour montrer que 5(n^4 + n) est divisible par 10, il suffit de montrer que n^4 + n est divisible par 2 (donc c’est un nombre pair). Si n et pair alors il existe k tel que n = 2k. Développons l’expression :

(2k)^4 + 2k = 16k^4 + 2k = 2(8k^4 + k)

L’entier (2k)^4 + 2k est bien divisible par 2. Maintenant, si n est impair alors il existe k tel que n=2k+1. On développe encore l’expression :

(2k+1)^4 + (2k+1) = 2k^4 + 8k^3 + 12k^2 + 8k + 1 + 2k + 1
= 2k^4 + 8k^3 + 12k^2 + 10k + 2
= 2(k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 5k + 1).

L’entier (2k+1)^4 + (2k+1) est aussi pair. Ainsi, pour tout n entier naturel, l’entier n^4 + n est pair, ce qui montre que 5(n^4 + n) est divisible par 10.

Conclusion : l’entier (n+1)^5 - (n+1) est bien divisible par 10, ce qui démontre la véracité de la propriété (P_{n+1}).

Conclusion : La propriété (P_n) a été initiée pour n=0 et elle est héréditaire pour un rang n \ge 0. Donc, d’après le principe de récurrence, la propriété (P_n) est vraie pour tout entier naturel n.

Ainsi, les entiers n et n^5 ont le même chiffre des unités et ceci quelque soit la valeur de l’entier naturel n.

RÉFÉRENCES :

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