Dossier CAPES Maths 2019-08 – Suites

Enoncé :

On définit la suite (u_n)_{n\in \mathbb{N}} par u_0 = 3 et pour tout entier naturel n,

u_{n+1} = u_n^2 - u_n.

Etudier le sens de variation de cette suite.

Solutions :

Visualisation et conjecture

On peut donner la représentation graphique de cette suite sur GeoGebra. On trace la droite d’équation y = x et la courbe représentative de la fonction f : x \mapsto x^2 - x. Si u_0 = 3, on obtient cette représentation graphique :

D’après la représentation graphique, la suite (u_n) semble croissante.

Démonstrations :

L’exercice se situe au niveau Terminale scientifique donc on peut utiliser les raisonnements par récurrence. Soit n un entier naturel. On va démontrer deux propriétés par récurrence :

(P_n) : " u_n \ge 3 "

(Q_n) : \og u_{n+1}-u_n \ge 0\fg{}a

Démonstration de la propriété (P_n) :

Initialisation : pour n=0, on a :

u_0 = 3 \ge 3.

La propriété (P_0) est donc vraie.

Hérédité : Supposons que pour un entier n\ge 0, la propriété (P_n) est vraie c’est-à-dire u_n \ge 3. Démontrons que la propriété (P_{n+1}) est vraie :

u_{n+1} = u_n^2 - u_n

Si u_n \ge 3 alors u_n^2 \ge 9 donc

u_{n+1} \ge 9 - 3 \ge 6 \ge 3.

La propriété (P_{n+1}) est donc vraie.

Conclusion : la propriété (P_n) est initiée pour n=0 et elle est héréditaire pour un rang n \ge 0 donc, d’après le principe de récurrence, la propriété (P_n) est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, c’est-à-dire : u_n \ge 3, pour tout n \in \mathbb{N}.

Démonstration de la propriété (Q_n) :

Initialisation : pour n=0, on a :

u_1 - u_0 = 6 - 3 = 3 \ge 0.

La propriété (Q_0) est donc vraie.

Hérédité: Supposons que pour un entier n\ge 0, la propriété (Q_n) est vraie c’est-à-dire u_{n+1} - u_n \ge 0. Démontrons que la propriété (Q_{n+1}) est vraie :

u_{n+2} - u_{n+1} = u_{n+1}^2 - u_{n+1} - u_{n+1}= u_{n+1}(u_{n+1} - 2).

Or on peut utiliser la propriété (P_{n+1}), u_{n+1} \ge 3. Ainsi :

u_{n+2} - u_{n+1} = u_{n+1}(u_{n+1}-2) \ge 3 \times (3-2)\ge 3 \ge 0.

La propriété (Q_{n+1}) est vérifiée.

Conclusion : la propriété (Q_n) est initiée pour n=0 et elle est héréditaire pour un rang n \ge 0 donc, d’après le principe de récurrence, la propriété (Q_n) est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, c’est-à-dire : u_{n+1}-u_n \ge 0, pour tout n \in \mathbb{N}.

On a donc démontré que la suite (u_n) est croissante.

REFERENCES :

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