Dossier CAPES Maths 2019-09 – Probabilités

Enoncé :

Mathieu et Jeanne ont inventé un jeu avec leur calculatrice. Chaque joueur obtient un nombre aléatoire dans l’intervalle [0;1] à l’aide de la calculatrice. Si le produit des deux nombres est inférieur ou égal à 0,5 alors Jeanne gagne, sinon c’est Mathieu qui gagne. Après quelques parties, ils s’aperçoivent que Jeanne gagne très souvent et Mathieu propose alors de remplacer la valeur de 0,5 par un autre nombre pour rendre le jeu plus équitable.

La version initiale du jeu avantage-t-elle Jeanne ? Mathieu peut-il rendre ce jeu équitable ?

Solutions :

Question 1 :

On peut reprendre la modélisation de l’élève 3. On se place dans un carré [0;1] \times [0;1] et la courbe \mathcal{C} d’équation y = \frac{0,5}{x} (cela vient du fait que si on note x le nombre obtenu par Jeanne et y le nombre obtenu par Mathieu, le produit des deux vaut x \times y et la limite à ne pas dépasser est 0,5). On obtient le graphe suivant sur GeoGebra.

En vert, nous avons représenté la zone où Jeanne gagne et le reste, Mathieu gagne.

On voit clairement que la zone où Jeanne gagne est plus grande que celle de Mathieu. De combien ?

Démonstration question 1 :

Pour cela, on va calculer l’aire \mathcal{A}_J de la zone qui représente la victoire de Jeanne au jeu. On voit qu’elle est composée d’un rectangle de dimension 0,5 x 1 (unité d’aire) et l’intégrale suivante :

\displaystyle I = \int_{0,5}^1 \frac{0,5}{x}\mathrm{d}x.

Calculons cette intégrale. Une primitive de la fonction x \mapsto \frac{1}{x} est x \mapsto \ln(x).

\displaystyle I = [0,5\ln(x)]_{0,5}^1 = 0,5\ln(1) -0,5\ln(0,5) = 0,5\ln(2)

On a alors :

\displaystyle \mathcal{A}_J = I + 0,5 = 0,5 + 0,5\ln(2)\approx 0,847.

Jeanne gagne 84,7% du temps tandis que Mathieu gagne 15,3% du temps.

Question 2 :

Pour que le jeu soit équitable, on cherche en fait \alpha tel que :

\displaystyle \mathcal{A}_J = \alpha + \int_{\alpha}^1\frac{\alpha}{x} \mathrm{d}x = 0,5.

Sur GeoGebra, on peut visualiser et conjecturer la valeur de \alpha.

On a donc un encadrement de la valeur de \alpha qui correspond aux critères du problème :

0,18 \le \alpha \le 0,19.

Donnons une valeur plus précise par le calcul :

\alpha + \int_{\alpha}^1 \frac{\alpha}{x} \mathrm{d}x = 0,5 \iff \alpha + [\alpha\ln(1) - \alpha\ln(\alpha) = 0,5

\iff \alpha - \alpha\ln(\alpha) = 0,5 \iff \alpha(1-\ln(\alpha)) = 0,5 \iff \alpha(1-\ln(\alpha)) - 0,5 = 0.

La fonction f : x \mapsto x(1-\ln(x)) - 0,5 sur l’intervalle ]0;1] est une fonction continue. La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0;1] (car la dérivée de la fonction est f'(x) = 1 -\ln(x) - \frac{x}{x} = -\ln(x) qui est positive sur l’intervalle ]0;1]).

On a :

\displaystyle \lim_{x \to 0} x(1-\ln(x)) - 0,5 = -0,5 < 0 ;

\displaystyle f(1) = 1(1-\ln(1)) - 0,5 = 1 \times 1 - 0,5 = 0,5 > 0.

Ainsi, on peut appliquer le théorème de la bijection pour conclure qu’il y a une unique solution \alpha à l’équation x(1-\ln(x)) = 0,5.

A la calculatrice (NumWorks), on peut donner un encadrement plus précis :

On a ainsi :

0,186 \le \alpha \le 0,187.

REFERENCES :

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