Dossier CAPES Maths 2019-14 – Problème avec prise d’initiative

Enoncé :

Au début du 19ème siècle, un marchand veut remonter de Sète jusqu’à Toulouse pour vendre sa farine. Pour cela, il emprunte le canal du Midi qui relie la mer Méditerranée à la Garonne. Ce canal comporte 63 écluses. A chacune d’elles, le marchand doit laisser 1% de son chargement en péage et échanger 5 kg de farine contre de la nourriture.

  1. Si le marchand part de Sète avec 10 tonnes de farine, combien lui en restera-t-il à Toulouse ?
  2. Pour rentabiliser son voyage, le marchand doit arriver à Toulouse avec au moins la moitié de son chargement de départ. Quelle quantité minimale de farine doit-il embarquer à Sète pour que son voyage soit rentable à l’arrivée à Toulouse ?

Solution :

Modélisation :

On peut modéliser la quantité de chargement après le passage de n écluses (n étant un entier naturel) par une suite arithmético-géométrique. Soit (u_n)_{n \in \mathbb{N}} la quantité de farine que le marchand a après passage de n écluses. Il a u_n kilos de farine mais il doit laisser 1% de son chargement (ce qui représente (1-0,01) u_n = 0,99 u_n puis doit échanger 5 kg de farine contre de la nourriture donc u_{n+1} = 0,99 u_n - 5.

Ainsi, si on part avec 10 tonnes de farine, la suite qui modélise le problème est définie de la manière suivante :

\begin{cases} u_0 = 10000 \\ u_{n+1} = 0,99u_n - 5\end{cases}.

Question 1 :

On souhaite savoir quelle est la quantité de farine qu’il restera au marchand quand après avoir passé 63 écluses. C’est le calcul du terme u_{63}. Il nous faut une écriture explicite de la suite numérique (u_n). Pour cela, on passe par une suite auxiliaire (v_n) qui aurait pour raison 0,99 et qui serait de la forme : v_n = u_n + \alpha. Cherchons la valeur de \alpha qui répond à ce critère :

v_{n+1} = 0,99 v_n \iff u_{n+1} + \alpha = 0,99 (u_n + \alpha)
\iff 0,99 u_n - 5 + \alpha = 0,99u_n + 0,99\alpha

\displaystyle \iff 0,01\alpha = 5 \iff \alpha = \frac{5}{0,01} = 500.

On a donc : v_n = u_n + 500 et (v_n) est une suite géométrique de raison 0,99 et de premier terme v_0 = 10000 + 500 = 10500.

On peut alors écrire v_n = 10500 \times 0,99^n puis :

v_n = u_n + 500 \iff u_n = v_n - 500 \iff u_n = 10500 \times 0,99^n - 500.

Il passe 63 écluses au total donc à la fin de son voyage, il lui reste :

u_{63} = 10500 \times 0,99^{63} - 500 \approx 5074,5,

soit 5,074 tonnes de farine.

Question 2 :

La question nous propose de chercher une quantité Q telle que :

\begin{cases} u_0 = Q \\ u_{n+1} = 0,99 u_n - 5\end{cases} et \displaystyle u_{63} = \frac{Q}{2}.

On peut utiliser la suite auxiliaire (v_n) définie en question 1 mais cette fois-ci, il faut considérer que u_0 = Q. On peut écrire :

v_n = (Q+500)\times 0,99^n ou encore u_n = (Q+500) \times 0,99^n - 500.

On calcule :

u_{63} = (Q+500) \times 0,99^{63} - 500.

On résout donc l’équation suivante d’inconnue Q :

(Q+500) \times 0,99^{63} - 500 = \frac{Q}{2} \iff 2(Q+500)\times 0,99^{63} - 1000 = Q
\iff 2\times 0,99^{63}Q + 100 \times 0,99^{63} - 1000 = Q \iff (2\times 0,99^{63} - 1) Q = 1000(1-0,99^{63})

\displaystyle \iff Q = \frac{1000(1-0,99^{63})}{2\times 0,99^{63}-1} \iff Q = 7589,164.

On peut vérifier que :

\displaystyle \frac{Q}{2} = 3794,582 = u_{63}.

Références :

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