Dossier CAPES Maths 2019-15 – Dérivation

Enoncé :

Dans un repère, on a représenté graphiquement la fonction f : x \mapsto x^2 + 1 et le point A(4;0).

Existe-il des tangentes à la courbe passant par le point A ?

Solution :

Soit x_0 \in \mathbb{R}. La tangente à f au point d’abscisse x_0 que l’on notera (T_{x_0}) est donnée par :

(T_{x_0}) : y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)

avec f'(x_0) = 2x_0 et f(x_0) = x_0^2 + 1. On a donc :

y = 2x_0(x-x_0) + x_0^2 + 1 \iff y = 2x_0x - 2x_0^2 + x_0^2 + 1 \iff y = 2x_0x-x_0^2 + 1.

On cherche à savoir s’il existe des tangentes à la courbe passant par le point A(4;0), donc s’il existe un x_0 tel que A \in (T_{x_0}), ou encore si l’équation 4 \times 2 x_0 - x_0^2 + 1 = 0 a une solution dans \mathbb{R}.

Calculons le discriminant du trinôme du second degré : -x_0^2 + 8x_0 + 1.

\Delta = 8^2 - 4 \times (-1) \times 1 = 64 + 4 = 68 \ge 0.

Il existe donc x_0 \in \mathbb{R} tel que A \in (T_{x_0}).

x_{0,1} = \dfrac{-8-2\sqrt{17}}{-2} = 4 + \sqrt{17}

x_{0,2} = \dfrac{-8+2\sqrt{17}}{-2} = 4-\sqrt{17}.

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