Dossier CAPES Maths 2019-16 – Géométrie plane

Enoncé :

Le drapeau écossais est constitué d’une croix de Saint-André blanche sur fond bleu. La figure ci-contre est un schéma du drapeau avec les cotes utiles à son dessin.

Quelle est l’aire de la partie blanche du drapeau ?

Solution :

Reprenons la figure ci-dessus en plaçant quelques points de réperage.

  • On note ABCD le rectangle bordant le drapeau, AB = 45 cm et BC = 36 cm.
  • On note I (resp. J, resp. K, resp. L) le milieu du segment [AB] (resp. [BC], resp. [CD], resp. [DA]).

On remarque tout d’abord deux symétries axiales, une symétrie d’axe (KI) et autre symétrie d’axe (LJ). Ainsi, on peut considérer la partie sud-ouest, c’est-à-dire le rectangle AIULU est le centre du rectangle.

Concentrons nous sur le rectangle AIUL. Il est constitué de 3 figures, 2 triangles rectangles :

  • IQP rectangle en I
  • LOT rectangle en L

et la bande blanche qui sépare les deux triangles. Les droites (OT) et (PQ) sont parallèles à la diagonale [AU] du rectangle. Ainsi \widehat{IAU} = \widehat{IPQ} et \widehat{LAU} = \widehat{LOT}.

Calculons la mesure des deux angles \widehat{IAU} et \widehat{LAU} en utilisant la tangente de l’angle.

\tan(\widehat{IAU}) = \dfrac{IU}{AI} = \dfrac{36}{45} \iff \widehat{IAU} = \arctan\left(\dfrac{36}{45}\right)\approx 38,66^\circ.
\widehat{LAU} = 90 - 38,66 = 51,34^\circ.

On sait aussi que AO = 6 cm et AP = 6 cm donc PI = 22,5 - 6 = 16,5 cm et OL = 18 - 6 = 12 cm.

On peut calculer les longueurs des segments [QI] et [LT] grâce à la trigonométrie.

\tan(\widehat{LAU}) = \dfrac{LT}{OL} \iff 12\tan(51,34) = LT.

\tan(\widehat{IAU}) = \dfrac{IQ}{PI} \iff 16,5\tan(38,66) = PI

(on laisse les valeurs exactes des longueurs pour faire l’arrondi en fin de raisonnement).

Enfin, on peut calculer l’aire des triangles rectangles LOT et PIQ :

\mathcal{A}_{LOT} = \dfrac{LO\times LT}{2} = \dfrac{12 \times 12 \tan(51,34)}{2} \approx 90 cm2
\mathcal{A}_{PIQ} = \dfrac{PI \times QI}{2} = \dfrac{16,5 \times 16,5\tan(38,66)}{2} \approx 108,9 cm2

Ainsi l’aire de la bande blanche est égale à :

\mathcal{A}_{\text{blanche}(AIUL)} = \mathcal{A}_{AIUL} - \mathcal{A}_{LOT} - \mathcal{A}_{PIQ} = 405 - 108,9 - 90 = 206,1 cm2.

L’aire totale de la bande blanche sur le drapeau est donc de :

4\mathcal{A}_{\text{blanche}(AIUL)} = 4 \times 206,1 \approx 824,4 cm2.

Références :

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