Dossier CAPES Maths 2019-20 – Raisonnement

Enoncé :

A tout réel m, on associe la droite \mathcal{D}_m d’équation :

(2m-1)x+(5-m)y - 4m - 7 = 0.

  1. Montrer qu’il existe un point K appartenant à toutes les droites \mathcal{D}_m.
  2. (a) Déterminer m pour que \mathcal{D}_m passe par le point A(1;1).
    (b) Si l’on se donne un point P du plan, existe-t-il toujours un nombre réel m tel que \mathcal{D}_m passe par le point P ?

Solution :

Question 1 :

On veut montrer l’existence d’un point K (donc déterminer ses coordonnées) appartenant à toutes les droites \mathcal{D}_m. Pour cela, on prend deux valeurs particulières de m et on cherche les valeurs x et y qui vérifient un système d’équation.

Prenons, pour nous faciliter la tâche, 2m - 1 = 0 \iff 2m = 1 \iff m = \frac{1}{2}, on aurait ainsi :

(5 - \frac{1}{2}) y- 4 \times \frac{1}{2} - 7 = 0 \iff \frac{9}{2} y - 9 = 0

Si on prend 5-m = 0 \iff 5 = m, on obtient l’équation de \mathcal{D}_5 :

(2\times 5 - 1) x - 4 \times 5 - 7 = 0 \iff 9x - 27 = 0.

Les coordonnées du point K vérifient le système d’équation suivant :

\begin{cases} \frac{9}{2}y - 9 = 0 \\ 9x - 27 = 0\end{cases} \iff \begin{cases} 9y - 18 = 0 \\ 9x - 27 = 0\end{cases} \iff \begin{cases} 9y = 18 \\ 9x = 27 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 2 \\ x = 3\end{cases}/katex]</p> <p>Ainsi, il existe bien un point <em>K</em> (de coordonnées (3;2)) qui appartient à toutes les droites [katex]\mathcal{D}_m.

Question 2(a) :

La donnée de la question est que le point A de coordonnées (1;1) appartient à la droite \mathcal{D}_m. On remplace les valeurs x et y dans l'équation cartésienne de la droite \mathcal{D}_m et on résout cette équation pour trouver la valeur de m correspondante :

2m-1 + 5-m - 4m - 7 = 0 \iff -3m + 3 = 0 \iff -3m = -3 \iff m=1.

Ainsi, pour m=1, la droite [/katex]\mathcal{D}_1[/katex] passe par le point A de coordonnées (1;1).

Question 2(b) :

Supposons que P (de coordonnées (x;y)) appartiennent à la droite \mathcal{D}_m alors les coordonnées vérifient l’équation cartésienne de la droite \mathcal{D}_m. On a ainsi :

(2m-1)x+(5-m)y - 4m - 7 = 0

Développons l’expression et séparons les termes en m et les termes “constants” :

2mx-x + 5y - my - 4m - 7 = 0 \iff m(2x-y-4) = x-5y+7 \iff m = \dfrac{x-5y+7}{2x-y-4}.

La valeur de m existe si et seulement si 2x-y-4 \neq 0. Ce qui n’est pas toujours le cas.

Si 2x-y-4 = 0 alors y = 2x-4. Ainsi tous les points dont les coordonnées sont de la forme (x;2x-4) n’appartiennent pas à la famille de droites [/katex]\mathcal{D}_m[/katex].

Références :

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