Dossier CAPES Maths 2019-3C04 – Problèmes conduisant à la résolution d’équation

Enoncé :

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x-1)e^{1-x} et \mathcal{C} sa courbe représentative dans ce repère. La courbe \mathcal{C} admet-elle des tangentes passant par l’origine O du repère ?

Solution :

On établit l’équation cartésienne de la tangente à \mathcal{C} au point d’abscisse x=a (où a est un nombre réel), que l’on notera \mathcal{T}_a.

\mathcal{T}_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)

Calculons f(a), puis f' la dérivée de la fonction f :

  • f(a) = (a-1)e^{1-a}
  • f'(x) = e^{1-x} - (x-1)e^{1-x} (ici, on utilise la formule de dérivation pour un produit de deux fonctions u(x) = x-1 et v(x) = e^{1-x}).
f'(x) = (2-x)e^{1-x}

Ainsi, f'(a) = (2-a)e^{1-a}.

On peut remplacement maintenant les valeurs manquantes dans l’équation cartésienne :

y = (2-a)e^{1-a} (x-a) + (a-1)e^{1-a} \iff y = e^{1-a}[(2-a)(x-a)+(a-1)]

Pour répondre à la question posée par le sujet du jury, il faut déterminer les valeurs de a telles que la tangente \mathcal{T}_a à \mathcal{C} au pont d’abscisse x=a passe par l’origine du repère. Autrement dit, il faut déterminer les valeurs de a telles que (0,0) \in \mathcal{T}_a. On remplace alors x par 0 et y par 0 et on résout l’équation d’inconnue a.

e^{1-a}[(2-a)(-a)+(a-1)] = 0

On remarque une équation produit nul. Or comme e^{1-a} > 0, la résolution de l’équation précédente est équivalente à la résolution de l’équation suivante :

(2-a)(-a) + (a-1) = 0 \iff -2a + a^2 + a - 1 = 0 \iff a^2 -a - 1 = 0

On calcule le discriminant :

\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 1 + 4 = 5 > 0.

Il y a donc deux solutions à l’équation a^2 - a - 1 = 0. On a : \sqrt{\Delta} = \sqrt{5} et :

a_1 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} et a_2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} sont les deux solutions de l’équation a^2 - a - 1 = 0.

Vérification graphique sur GeoGebra :

Références :

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